🪡 ارمِ الإبر على الأرضية الخشبية
كل إبرة حمراء تقطع شريحة، وكل إبرة زرقاء لا تقطعها. النسبة بين الاثنين تُظهر π. ارمِ المزيد والمزيد وشاهد التقدير يصبح أدق.
الإبر
0
التقاطعات
0
π المقدَّر
—
القيمة الحقيقية
3.14159
ارمِ الإبر لبدء التقدير. مع بضع عشرات من الإبر يكون التقدير تقريبيا؛ ومع آلاف الإبر يصبح أدق.
🪡 1733: كونت يلعب الزهر… بالإبر
في سنة 1733، طرح جورج-لويس لوكلير، كونت بوفون — عالم طبيعة ورياضياتي وأحد كبار مبسّطي العلوم في عصر الأنوار — على أكاديمية العلوم مسألة تبدو بسيطة. وقد نُشرت بالتفصيل سنة 1777 في كتابه مقالة في الحساب الأخلاقي. إنها واحدة من أوائل مسائل ما سيُسمى لاحقا هندسة الاحتمالات.
نص المسألة: لدينا أرضية خشبية مكونة من شرائح متوازية، تفصل بينها جميعا نفس المسافة a. نترك إبرة طولها L تسقط بشكل عشوائي (مع L ≤ a). ما هو احتمال أن تقطع الإبرة إحدى خطوط الأرضية؟
🎯 النتيجة المذهلة
برهن بوفون أن هذا الاحتمال يساوي:
p = 2L / (a·π)
حيث p هو احتمال أن تقطع إبرة شريحة، وL
طول الإبرة، وa المسافة بين الشرائح.
وجود π في هذه الصيغة غير متوقع: نتحدث عن إبر وأرضية خشبية، ولا توجد أي دائرة في أي مكان… ومع ذلك يظهر ثابت الدائرة. بقلب الصيغة، نحصل على آلة لتقدير π:
π = 2L / (a·p)
عمليا، نستبدل الاحتمال النظري p بـ تردده المُلاحَظ: إذا رمينا N إبرة وأحصينا منها C إبرة تقطع شريحة، فإن p ≈ C/N، إذن:
π ≈ 2·L·N / (a·C)
هذه هي بالضبط الصيغة المستخدمة في المحاكاة أعلاه. الصدفة، بتكرارها كثيرا، تنتهي إلى حساب ثابت رياضي.
📐 لماذا ينجح ذلك: البرهان الحدسي
لنصف إبرة ساقطة بمتغيرين عشوائيين مستقلين:
- المسافة x من مركز الإبرة إلى أقرب شريحة؛ وهي منتظمة على المجال [0, a/2]؛
- الزاوية θ التي تكوّنها الإبرة مع اتجاه الشرائح؛ وهي منتظمة على [0, π).
تقطع الإبرة شريحة بالضبط عندما يتجاوز نصف إسقاطها العمودي المسافة إلى الحافة، أي عندما:
x ≤ (L/2)·sin(θ)
يبقى حساب احتمال هذا الحدث. بما أن x و θ منتظمان ومستقلان، فإننا نكامل على الزاوية. من أجل زاوية θ ثابتة، تكون نسبة المواقع الملائمة (L/2)·sin θa/2. نأخذ المتوسط على كل الزوايا من [0, π):
p = 1π ∫0π L·sin θa dθ = La·π · ∫0π sin θ dθ = La·π · 2 = 2La·π.
المعامل 2 يأتي مباشرة من التكامل ∫0π sin θ dθ = 2: هو الذي يُظهر π في المقام بعد التسوية. هذا هو مصدر π: ليس من دائرة مرسومة، بل من متوسط جيب على نصف دورة.
🎲 أول طريقة «مونتي-كارلو» في التاريخ
إبرة بوفون هي السلف المباشر لـ طرق مونتي-كارلو: تلك التقنيات التي نحسب فيها مقدارا حتميا (هنا π) بإجراء عدد كبير من السحوبات العشوائية وإحصاء النجاحات. اسم «مونتي-كارلو» يعود إلى أربعينيات القرن العشرين (أولام، فون نويمان، مشروع مانهاتن)، لكن الفكرة موجودة بالفعل، قبل قرنين، في أرضية بوفون الخشبية.
المبرر النظري هو قانون الأعداد الكبيرة: التردد المُلاحَظ C/N يتقارب نحو الاحتمال الحقيقي p عندما يؤول N إلى ما لا نهاية. إذن 2·L·N/(a·C) يتقارب نحو 2L/(a·p) = π. هذا بالضبط ما تراه في المحاكاة: كلما رميت إبرا أكثر، استقر التقدير أكثر حول 3,14159.
🐌 لكن انتبه: التقارب بطيء
تقدير π بالإبر أمر جميل… لكنه غير فعّال إلى حد كبير. خطأ طريقة مونتي-كارلو يتناقص عادة كـ 1/√N (المبرهنة المركزية النهائية). النتيجة العملية:
- لكسب رقم عشري واحد من الدقة، يجب ضرب عدد الرميات في حوالي 100؛
- الحصول على π بثلاثة أرقام عشرية موثوقة يتطلب بالفعل مئات الآلاف من الرميات؛
- يدويا، على أرضية خشبية حقيقية، يمكن القول إن ذلك غير عملي بعد رقم أو رقمين عشريين.
هذا البطء (~1/√N) ليس عيبا خاصا بإبرة بوفون: إنه السمة المشتركة لكل طرق مونتي-كارلو. نستخدمها ليس لأنها سريعة، بل لأنها تبقى عملية حيث تصبح الطرق الحتمية مستحيلة (التكاملات في أبعاد كبيرة جدا، المالية، فيزياء الجسيمات…).
🎓 الرابط مع برنامجك الدراسي
تستدعي إبرة بوفون مفاهيم حاضرة بقوة في الثانوي:
- الاحتمالات المتصلة / القانون المنتظم: x و θ متغيران منتظمان، ويصبح الاحتمال مساحة في المستوى (x, θ).
- حساب المثلثات: معيار التقاطع x ≤ (L/2)·sin θ.
- الحساب التكاملي: ∫0π sin θ dθ = 2، قلب البرهان.
- قانون الأعداد الكبيرة والتردد: C/N → p، أساس التقدير.
- الخوارزميات: المحاكاة مشروع صغير ممتاز بلغة بايثون أو جافاسكريبت (وموضوع كلاسيكي للبحث الشخصي).