مجموعة كانتور

🎛️ ابنِ مجموعة كانتور خطوة بخطوة

في كل خطوة، نحذف الثلث الأوسط من كل قطعة متبقية. عند اللانهاية، تبقى مجموعة مفارِقة.

عمق التكرار: 4

في كل خطوة: ضعف عدد القطع، والطول الكلي × 2/3.

عدد القطع

الطول المتبقي $(\frac{2}{3})^{n}$

0.198

البعد الكسيري log(2)/log(3)

0.6309…

الخطوة 4: 16 قطعة متبقية، الطول الكلي $(\frac{2}{3})^{4}$ ≈ 0.198. عند اللانهاية، الطول يؤول إلى 0 لكن المجموعة تبقى غير فارغة.

🪛 وصفة طبخ بسيطة

خذ القطعة [0, 1] من المستقيم الحقيقي. يتم بناء مجموعة كانتور على النحو التالي:

الخطوة 0: تنطلق من القطعة الممتلئة [0, 1].
الخطوة 1: احذف الثلث الأوسط ]1/3, 2/3[. يبقى [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].
الخطوة 2: على كل جزء متبقٍ، احذف الثلث الأوسط. تبقى 4 قطع.
الخطوة n + 1: على كل قطعة من قطع الخطوة n البالغ عددها $2^{n}$ ، احذف الثلث الأوسط. تبقى $2^{n + 1}$ قطعة.
عند اللانهاية: تقاطع جميع هذه الخطوات يُعرّف مجموعة كانتور C.

هذا كل شيء. القاعدة تختصر في كلمتين: «احذف الثلث الأوسط، وكرّر». ومع ذلك، فإن المجسم الناتج هو أحد أكثر المجسمات إثارة للدهشة في الرياضيات.

📏 الخاصية 1: الطول الكلي منعدم

عند الخطوة n، تبقى $2^{n}$ قطعة طول كل منها $(\frac{1}{3})^{n}$ . إذن الطول الكلي يساوي:

$L_{n}$ = $2^{n}$ · $(\frac{1}{3})^{n}$ = $(\frac{2}{3})^{n}$

عندما n → ∞، فإن $L_{n}$ → 0. طول مجموعة كانتور (قياس لوبيغ) يساوي صفرًا.

الاستنتاج 1: إذا اخترت نقطة عشوائيًا في [0, 1] وفق القانون المنتظم، فإن احتمال انتمائها إلى مجموعة كانتور يساوي 0. المجموعة «غير مرئية» بالنسبة لقياس الأطوال.

🤯 الخاصية 2: عدد من النقاط بقدر ℝ بأكملها

ها هي المفاجأة المسرحية. مجموعة كانتور لها قوة المتصل — فهي تحتوي على عدد من النقاط بقدر المستقيم الحقيقي ℝ بأكمله.

لبرهنة ذلك، نستعمل الكتابة في الأساس 3 (الثلاثي). كل نقطة من [0, 1] تُكتب $0. d_{1}$ $d_{2}$ $d_{3}$ … حيث $d_{i}$ ∈ 2.

حذف الثلث الأوسط يكافئ حذف النقاط التي يكون رقمها الثلاثي الأول هو 1.
التكرار يكافئ حذف جميع النقاط التي يحتوي تفكيكها الثلاثي على رقم 1 واحد على الأقل.
ما يبقى هو مجموعة النقاط التي لا تحتوي كتابتها الثلاثية إلا على أصفار واثنينات (0 و 2).

الآن، يمكنك غمر ℝ في C هكذا: لكل متتالية ثنائية $b_{1}$ $b_{2}$ $b_{3}$ …، تربط النقطة من C التي كتابتها الثلاثية هي ( $2 b_{1}$ )( $2 b_{2}$ )( $2 b_{3}$ )…. إنه تقابل بين 1^ℕ (المتصل) و C. إذن $∣ C ∣ = ∣ R ∣ = 2^{ℵ_{0}}$ .

🔮 الخاصية 3: بعد كسيري غير صحيح

مجموعة كانتور هي أيضًا كسيرية (fractale). عند كل تكبير بمعامل 3، نجد نسختين مصغرتين من الكل. البعد الكسيري (بعد هاوسدورف) هو:

d = log(2) / log(3) ≈ 0.6309

هذا البعد محصور قطعًا بين 0 و 1. C هي «أكثر من مجموعة منتهية من النقاط» (البعد 0) لكنها «أقل من قطعة» (البعد 1). برهان كمّي على أن C تقع بين الاثنين.

🌌 كانتور مغلقة، تامة، ومنفصلة تمامًا

لمجموعة كانتور خصائص طوبولوجية مدهشة:

مغلقة: تحتوي على جميع نهاياتها (تقاطع متتالية من المغلقات).
تامة: كل نقطة هي نهاية لنقاط أخرى من C. لا توجد أي نقطة معزولة.
منفصلة تمامًا: لأي نقطتين كيفما كانتا من C، يوجد مجال بينهما لا ينتمي إلى C. لا يوجد أي «جزء متصل» داخل C.
متراصة (Compacte): مغلقة ومحدودة في ℝ.
غير فارغة: تحتوي على 0، 1، 1/3، 2/3، 1/9، إلخ.

بالنسبة للطوبولوجيين، C هي مثال تام (بالمعنى التقني) لمجسم متراص، تام، ومنفصل تمامًا. كل فضاء طوبولوجي يحقق هذه الخصائص الثلاث يكون متماثلًا تشاكليًا (homéomorphe) مع C. إذن C هي النموذج الأصلي الأساسي لصنف كامل من الفضاءات.

📚 سنة 1883: كانتور يخترع الحداثة

جورج كانتور (1845-1918)، عالم رياضيات ألماني من أصل روسي، أدخل هذه المجموعة سنة 1883 في مقال تأسيسي. هدفه: إظهار أنه توجد مجموعات «مرضية» تتحدى الحدس الهندسي الكلاسيكي.

كانتور هو أيضًا أب نظرية المجموعات، والأعداد الكاردينالية اللانهائية، و«البرهان القطري» الذي يثبت أن |ℝ| > |ℕ|. لقد تحطمت مسيرته المهنية بسبب انتقادات معاصريه (وصفه كرونيكر بـ«الدجّال»)، ومات في مصحة للأمراض النفسية. اليوم، نظريته هي أساس كل الرياضيات الحديثة.

🎭 تنويعات: بساط سيربينسكي في بعدين، إسفنجة منغر في ثلاثة أبعاد

تتعمم مجموعة كانتور:

بساط سيربينسكي (بعدان): نأخذ مربعًا، ونحذف المربع المركزي (الجزء 1/9 الأوسط من شبكة 3×3)، ونكرر على المربعات الثمانية المتبقية. قياسه 0، وبعده الكسيري log(8)/log(3) ≈ 1.893.
إسفنجة منغر (ثلاثة أبعاد): نسخة مكعبة، نحذف المكعب المركزي ومكعبات مركز كل وجه. قياسها 0، وبعدها الكسيري log(20)/log(3) ≈ 2.727.

تُستعمل هذه المجسمات في الهندسة المعمارية، وفي تصميم الهوائيات (الهوائيات الكسيرية)، وفي الفن الرقمي (ألهم ماندلبرو جيلًا كاملًا من الفنانين الرقميين).

📐 الرابط مع برنامجك الدراسي

مجموعة كانتور ليست ضمن برنامج البكالوريا علوم رياضية، لكنها أرض تدريب مثالية لـ:

المتتاليات الهندسية: الطول $(\frac{2}{3})^{n}$ وعدد القطع $2^{n}$ متتاليتان هندسيتان كلاسيكيتان.
النهايات: نحسب $(\frac{2}{3})^{n}$ → 0 عندما n → ∞، وهو تمرين أساسي من درس النهايات في الأولى بكالوريا علوم رياضية.
الترجع (Récurrence): برهنة عدد المجالات عند الخطوة n يستلزم استدلالًا بالترجع على n.
أساس العد: وصف المتممة لـ C في الأساس 3 هو تمرين جيد في الحسابيات (برنامج الحسابيات للثانية بكالوريا علوم رياضية).
المجاميع الهندسية: الطول الكلي المحذوف هو ∑ $2^{n}$ / $3^{n + 1}$ = 1، وهذا يؤكد أن طول C يساوي 0.

مجموعة كانتور هي أبسط مجسم يتحدى الحدس القائل «صغير = قليل النقاط». إنها لانهائية، غير قابلة للعد، لكن طولها منعدم. هذا المجسم، أكثر من أي مجسم آخر، هو الذي أجبر علماء الرياضيات على الفصل بين «القوة (الكاردينالية)» و«القياس» — وهو تمييز يؤسس لكل التحليل الحديث، من الاحتمالات إلى النظرية الإرغودية.

🎯

تحقّق من فهمك

٣ أسئلة قصيرة للتأكد من مكتسباتك. يمكنك إعادة المحاولة.

← أطلس المفاهيم يُثرى الأطلس كل أسبوع

Disponible dans 0 jour

مجموعة كانتور

🎛️ ابنِ مجموعة كانتور خطوة بخطوة

🪛 وصفة طبخ بسيطة

📏 الخاصية 1: الطول الكلي منعدم

🤯 الخاصية 2: عدد من النقاط بقدر ℝ بأكملها

🔮 الخاصية 3: بعد كسيري غير صحيح

🌌 كانتور مغلقة، تامة، ومنفصلة تمامًا

📚 سنة 1883: كانتور يخترع الحداثة

🎭 تنويعات: بساط سيربينسكي في بعدين، إسفنجة منغر في ثلاثة أبعاد

📐 الرابط مع برنامجك الدراسي

تحقّق من فهمك