🎛️ شاهد الحلزون الذهبي يُبنى انطلاقًا من مستطيلات فيبوناتشي
كل مستطيل له ضلع يساوي عددًا من أعداد فيبوناتشي. ينحصر الحلزون داخل هذه المستطيلات المتتابعة.
آخر حدّ Fn
21
Fn / Fn−1
1.6154
الهدف : φ
1.6180339…
8 مستطيلات : F₈ = 21. النسبة Fn/Fn−1 = 1.6154 تقترب من φ = 1.618…
🐰 1202 : مسألة أرانب غيّرت التاريخ
ليوناردو دي بيزا (1170-1250)، الملقّب بـفيبوناتشي (« ابن بوناتشي »)، كان تاجرًا إيطاليًا. خلال رحلة إلى الجزائر، اكتشف الأرقام العربية (0، 1، 2، …، 9) والحساب الموضعي. سنة 1202، نشر Liber Abaci، وهو الكتاب الذي أدخل هذه الأرقام إلى أوروبا. وفيه طرح مسألة أصبحت أسطورية :
مسألة الأرانب (1202)
نضع زوجًا من الأرانب داخل حظيرة. في كل شهر، يُنجب كل زوج موجود
زوجًا جديدًا، يصبح بدوره خصبًا بعد شهر.
كم عدد أزواج الأرانب بعد 12 شهرًا ؟
احسب شهرًا بشهر :
- الشهر 0 : زوج واحد (صغير)
- الشهر 1 : زوج واحد (يصبح بالغًا)
- الشهر 2 : زوجان (1 بالغ + 1 جديد)
- الشهر 3 : 3 أزواج (2 بالغان + 1 جديد)
- الشهر 4 : 5 أزواج
- الشهر 5 : 8 أزواج
- … الشهر 12 : 233 زوجًا
⚡ علاقة التراجع : كل حدّ = مجموع الحدّين السابقين
Fn+1 = Fn + Fn−1 حيث F0=0, F1=1
تحصل على : 0، 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21، 34، 55، 89، 144، 233، 377، 610، 987، 1597، 2584، …
هذه المتتالية لا تبدو فريدة في البداية. ما يجعلها استثنائية هو أننا نجدها في كل مكان في الطبيعة : بتلات الأزهار (3، 5، 8، 13، 21، 34)، حلزونات دوّار الشمس (34 في اتجاه، 55 في الاتجاه الآخر)، أكواز الصنوبر (8 و13 حلزونًا)، الأناناس (5، 8، 13)، ترتيب الأوراق حول الساق (توضّع الأوراق). لماذا ؟
💎 المعجزة : Fn+1 / Fn → φ (العدد الذهبي)
احسب النسب المتتابعة :
- 1/1 = 1
- 2/1 = 2
- 3/2 = 1.5
- 5/3 ≈ 1.667
- 8/5 = 1.6
- 13/8 = 1.625
- 21/13 ≈ 1.615
- 34/21 ≈ 1.619
- 55/34 ≈ 1.6176
- … → φ ≈ 1.6180339887…
تتجه النسبة نحو العدد الذهبي φ، وهو الحل الموجب للمعادلة x² = x + 1 :
φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.6180339887498948…
📐 الحلزون الذهبي : هندسة فيبوناتشي
ابنِ مربّعات أطوال أضلاعها أعداد فيبوناتشي : 1×1، ثم مربع آخر 1×1 بجانبه، ثم مربع 2×2 في الأسفل، ثم مربع 3×3 على اليمين، ثم 5×5، ثم 8×8، وهكذا. بتكديسها بشكل حلزوني، تحصل على مستطيل ذهبي عملاق، أضلاعه هي Fn وFn+1.
داخل كل مربع، ارسم رُبع دائرة. كل أرباع الدوائر هذه تتصل لتشكّل منحنى متّصلًا : الحلزون الذهبي. وهو المنحنى الذي نجده في :
- صدفة النوتيلوس (مثال طبيعي مثالي)
- أذرع المجرّات الحلزونية (M51، NGC 6240…)
- شكل الأعاصير المرئية من السماء
- توزيع البذور في دوّار الشمس
- أعمال الفنانين : بوتيتشيلي، سلفادور دالي، لو كوربوزييه
🧮 صيغة بيني : فيبوناتشي في حساب واحد
توجد صيغة صريحة (غير تراجعية) تعطي Fn مباشرةً :
Fn = φn − ψn√5 حيث ψ = (1 − √5) / 2
المثير للدهشة : الصيغة تحتوي على أعداد غير جذرية (φ، ψ، √5)، ومع ذلك فهي تُنتج دائمًا عددًا صحيحًا. البرهان مقرّر في تخصص الرياضيات في فرنسا وفي المتناول كتمرين في التراجع في الثانية بكالوريا علوم رياضية.
🎓 كيف يظهر فيبوناتشي في البكالوريا علوم رياضية
- متتالية تراجعية خطية من الرتبة 2 : un+1 = a·un + b·un−1. المعادلة المميِّزة x² = ax + b تعطي الجذرين φ وψ، اللذين يظهران في صيغة بيني.
- التراجع القوي : البرهان على خاصية تخصّ Fn يتطلب غالبًا افتراض الخاصية من أجل n−1 و n−2 معًا. كلاسيكي.
- نهاية خارج حدّين : كلاسيكية كبرى في بكالوريا علوم رياضية (« بيّن أن المتتالية vn = Fn+1/Fn متقاربة نحو… »).
- الحساب المصفوفي : نحصل على Fn برفع مصفوفة 2×2 إلى القوة n. ارتباط مباشر بفصل المصفوفات.
🌌 الخصائص السحرية للمتتالية
- متطابقة كاتالان : Fn² − Fn+1·Fn−1 = (−1)n+1
- متطابقة كاسيني : Fn+1·Fn−1 − Fn² = (−1)n — عدد يساوي دائمًا ±1.
- المجموع : F1 + F2 + … + Fn = Fn+2 − 1.
- القابلية للقسمة : pgcd(Fm, Fn) = Fpgcd(m, n). خاصية حسابية رائعة.