🪜 جرّب : شاهد المقاربات p/q وهي تطوّق القيمة الحقيقية
اختر عددًا، غيّر العمق، وشاهد الكسور تقترب منه في شكل تعرّجي.
النشر في كسر مستمر
[1; 1, 1]
المقاربة p/q
3 / 2
القيمة العشرية
1.500000
الخطأ |x − p/q|
1.2e-1
φ = [1; 1, 1, …] : أبسط نشر ممكن على الإطلاق، ومع ذلك الأبطأ في التقارب.
🪜 شلال من الكسور المتداخلة
خذ عددًا مثل 1,6180… (العدد الذهبي φ). يمكن كتابته بطريقة غير مألوفة إطلاقًا : كسر يحتوي مقامه بدوره على كسر، يحتوي مقامه على كسر… إلى ما لا نهاية.
φ = 1 + 11 + 11 + 11 + …
لتجنّب هذا التراكم العمودي المُدوّخ، نكتب ببساطة قائمة الأعداد الصحيحة التي تظهر في كل طابق، مفصولة بفواصل (وفاصلة منقوطة بعد الأول) :
x = [a0; a1, a2, a3, …]
هكذا φ = [1; 1, 1, 1, …] و √2 = [1; 2, 2, 2, …].
العدد الأول a0 هو الجزء الصحيح لـ x. وكل ما يليه (a1, a2, …) أعداد صحيحة موجبة قطعًا تُسمّى الخوارج الجزئية.
⚙️ الخوارزمية: الجزء الصحيح، ثم مقلوب الباقي
كيف نجد هذه الخوارج ؟ الطريقة في غاية البساطة وتتكرّر بشكل متطابق :
- نأخذ الجزء الصحيح للعدد : هو الخارج ak = ⌊x⌋.
- ننظر إلى ما يتبقّى : r = x − ak، عدد بين 0 و 1.
- إذا كان الباقي منعدمًا، نتوقّف. وإلا نأخذ مقلوبه 1/r (وهو > 1)…
- … و نعيد من الخطوة 1 بهذا العدد الجديد.
مثال مع √2 ≈ 1,41421… : الجزء الصحيح هو 1، الباقي 0,41421…، مقلوبه يساوي 2,41421… وجزؤه الصحيح هو 2، الباقي 0,41421… (نفسه !)، مقلوبه 2,41421… : نقع من جديد على 2، وهكذا إلى ما لا نهاية. ومن ثمّ √2 = [1; 2, 2, 2, …].
الرابط مع إقليدس : هذه الخوارزمية هي بالضبط خوارزمية إقليدس (خوارزمية القاسم المشترك الأكبر) مطبّقة لا على عددين صحيحين بل على عدد حقيقي. الخوارج الجزئية ak هي الخوارج المتتالية للقسمات الإقليدية. بالنسبة لعدد جذري p/q، تتوقّف الطريقة : يكون النشر منتهيًا.
📐 المقاربات: أفضل الكسور في العالم
إذا توقّفنا بعد n طوابق، نحصل على كسر حقيقي pn/qn يُسمّى مقاربة. نحسبها دون إعادة بناء الكسر طابقًا طابقًا، بفضل علاقة تراجعية فعّالة جدًا :
pn = an · pn−1 + pn−2
qn = an · qn−1 + qn−2
حيث p−1 = 1, p−2 = 0, q−1 = 0, q−2 = 1.
لهذه المقاربات خاصية استثنائية، وهي كلّ فائدة هذه النظرية :
🥧 π، √2، e: معرض النشور
لكل عدد شهير بصمته في الكسر المستمر، وهناك تتجلّى شخصيته الحسابية.
- π = [3; 7, 15, 1, 292, …]. أول مقاربة هي 227 ≈ 3,1428 (مقاربة أرخميدس !). الخارج الكبير 292 الذي يظهر بعد ذلك يفسّر لماذا 355113 دقيق إلى هذا الحدّ : يلتصق بـ π بفارق 3·10−7.
- √2 = [1; 2, 2, 2, …] : دوري بحت. كل عدد لاجذري تربيعي (جذر معادلة من الدرجة الثانية بمعاملات صحيحة) له نشر دوري — وهذه هي مبرهنة لاغرانج.
- e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, …] : نمط منتظم (2، 4، 6، 8…) لكن غير دوري، بصمة عدد متسامٍ.
🌻 φ، العدد «الأكثر لاجذرية»
العدد الذهبي φ = [1; 1, 1, 1, …] مصنوع من الواحدات فقط — أصغر خوارج ممكنة. وكلّما كانت الخوارج أصغر، كان التقارب أبطأ : تقترب الكسور من φ أبطأ من أي عدد آخر.
ولهذا السبب بالضبط يُقال إن φ هو «العدد الأكثر لاجذرية» : هو الأصعب على المقاربة الجيدة بكسر. وتستغلّ الطبيعة هذه الخاصية : بترتيب بذور دوّار الشمس بزاوية متناسبة مع φ (الزاوية الذهبية، ≈ 137,5°)، تضمن النبتة ألّا تتراكب أيّ بذرة على أخرى — ملء أمثل. هذه هي الفيلوتاكسي (ترتيب الأوراق).
🎓 الرابط مع برنامجك 2BAC SM
الكسور المستمرة ملتقى رائع بين الحسابيات والتحليل في البرنامج :
- خوارزمية إقليدس & القاسم المشترك الأكبر : الخوارج الجزئية ليست سوى خوارج القسمات الإقليدية المتتالية.
- المتتاليات التراجعية : البسطُ pn والمقاماتُ qn تخضع لعلاقة تراجعية خطية من الرتبة 2، مثل فيبوناتشي (بالنسبة لـ φ، نجد فيبوناتشي بالضبط !).
- التقارب & النهايات : إثبات أن pn/qn → x تمرين رائع في الحصر والمتتاليات المتجاورة.
- المعادلات الديوفانتية & معادلات بِل : مقاربات √D تعطي الحلول الصحيحة للمعادلة x² − D·y² = 1 — كلاسيكية الحسابيات.
- مطابقة بيزو : المقاربة قبل الأخيرة لعدد جذري p/q تعطي مباشرة معاملات بيزو.
🤯 أجمل كسر على الإطلاق
1 + 11 + 11 + … = φ
البنية كلها مصنوعة من الرقم 1، مكرّرًا إلى ما لا نهاية، ومع ذلك تُرمّز العدد الذهبي. هذا هو روح الكسور المستمرة : خلف الكتابة العشرية الفوضوية لعدد ما يختبئ في الغالب نمط حسابي بنقاء مطلق — ومعه، أفضل مقارباته الكسرية.