من أين جاء العدد e ؟
أنت تعرف e ≈ 2,71828. لكن من أين يأتي هذا العدد ؟ حرّك المؤشر أسفله.
n = 1
أنت تحسب
(1 + 1 1 )1
النتيجة الحالية
2.00000
الهدف (النهاية)
e ≈ 2.71828
الفرق : 0.71828
القصة تبدأ في بازل (1683)
من أجل n = 1، تحسب (1 + 1)¹ = 2. ارفع قيمة n ولاحظ ما يحدث…
🎓 ما الذي تعلمته للتو
- ▸يُعرَّف العدد e بكونه نهاية المتتالية un = (1 + 1n)n عندما n → +∞.
- ▸اكتشف برنولي هذا التعريف سنة 1683 أثناء دراسته للفوائد المركّبة.
- ▸تُعرّف هذه المتتالية أيضًا الدالة الأسية ex، الدالة الوحيدة في العالم التي تساوي مشتقتها نفسها.
لماذا ex هي «الدالة السحرية » ؟
الشرح الذي لا يُقدَّم لك أبدًا في القسم.
تعلم أن اشتقاق دالة يعطي ميلها الموضعي في كل نقطة. بالنسبة لمعظم الدوال، تكون المشتقة مختلفة عن الدالة الأصلية :
(x²)' = 2x → شلجم (قطع مكافئ)، مشتقته مستقيم
(sin x)' = cos x → جيب، مشتقته جيب التمام
(ln x)' = 1x → لوغاريتم، مشتقته قطع زائد
لكن بالنسبة لـ ex، يحدث شيء مذهل :
(ex)' = ex
الدالة هي مشتقة نفسها.
ميلها في كل نقطة يساوي قيمتها في تلك النقطة. هذا يعني : كلما كبرت الدالة، كبرت بسرعة أكبر. وكلما صغرت، تباطأت أكثر. هذا بالضبط سلوك تكاثر البكتيريا، وتبرّد فنجان قهوة، أو الفوائد المركّبة.
❓ لكن لماذا e ؟ لماذا ليس 2x أو 10x ؟
بالنسبة لأي أساس a > 0، لدينا في الحقيقة :
(ax)' = ln(a) × ax
لكي تكون هذه المشتقة مساوية تمامًا لـ ax (وليست مضروبة في معامل)، يجب أن يكون ln(a) = 1، أي a = e.
💎 e هو العدد الوحيد الذي يجعل هذه الخاصية صحيحة. لهذا نستعمله في كل مكان : متتالية برنولي (1 + 1n)n تختار بشكل طبيعي الأساس الذي تتطابق فيه الدالة الأسية مع نسبة نموها.
هذه هي المعجزة. كان برنولي يسعى لتعظيم فوائد بنكية. ومن دون أن يدري، عثر على الثابت الرياضي الذي يحكم كل ظواهر النمو المستمر في الكون.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.