الأعداد التامة

💎 6 و 28: أول أفراد العائلة

احسب مجموع القواسم الفعلية (بدون العدد نفسه) للعدد 6: 1 + 2 + 3 = 6. سحري.

ونفس الشيء بالنسبة للعدد 28: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. هذا ما نسميه عددًا تامًا: عدد صحيح يساوي مجموع قواسمه الفعلية.

كان الفيتاغوريون يرون في العددين 6 و 28 أعدادًا مقدسة. وقد صرّح القديس أوغسطين في القرن الرابع الميلادي بأن «الله خلق العالم في 6 أيام لأن 6 عدد تام». وأن القمر يدور حول الأرض في 28 يومًا للسبب نفسه.

🎛️ اكتشف الأعداد التامة

🎛️ كاشف الأعداد التامة

اختر عددًا، وشاهد قواسمه ومجموعها. إذا كان يساوي n، فهو عدد تام.

n = 6

القواسم الفعلية للعدد n

1, 2, 3

$المجموع = 6$

✓ 6 عدد تام

📜 مبرهنة إقليدس-أويلر

قدّم إقليدس سنة 300 قبل الميلاد صيغة لتوليد الأعداد التامة الزوجية:

إذا كان $2^{p}$ − 1 عددًا أوليًا (عدد ميرسين أولي)، فإن 2^p−1( $2^{p}$ − 1) عدد تام.

لنتحقق:

p = 2: $2^{2}$ − 1 = 3 أولي → $2^{1}$ × 3 = 6 ✓
p = 3: $2^{3}$ − 1 = 7 أولي → $2^{2}$ × 7 = 28 ✓
p = 5: $2^{5}$ − 1 = 31 أولي → $2^{4}$ × 31 = 496 ✓
p = 7: $2^{7}$ − 1 = 127 أولي → $2^{6}$ × 127 = 8 128 ✓

بعد 2000 سنة (في القرن الثامن عشر)، برهن أويلر على العكس: كل عدد تام زوجي يكون على هذه الصورة. إنها مبرهنة إقليدس-أويلر.

🔍 أعداد ميرسين

الأعداد الأولية p التي يكون من أجلها $2^{p}$ − 1 عددًا أوليًا تُسمى أعداد ميرسين الأولية. إيجاد عدد ميرسين جديد يعني تلقائيًا إيجاد عدد تام جديد.

في سنة 2026، نعرف 51 عددًا تامًا. أكبرها مرتبط بعدد ميرسين الواحد والخمسين: $2^{82589932}$ − 1، أي عدد يتكون من 49 مليون رقم. وبالتالي فإن العدد التام المرتبط به يتكون أيضًا من حوالي 49 مليون رقم.

❓ 4 ألغاز ما زالت مفتوحة

بعد 2300 سنة، ما زلنا لا نعرف:

هل يوجد عدد لا نهائي من الأعداد التامة؟ تخمين مفتوح.
هل توجد أعداد تامة فردية؟ لم يجد أحد قط واحدًا منها. لو وُجد، لكان يتجاوز $1 0^{1500}$ . التخمين: لا وجود لها.
هل يوجد عدد لا نهائي من أعداد ميرسين الأولية؟ غير مبرهَن عليه.
هل تنتهي جميع الأعداد التامة الزوجية بالرقم 6 أو 8؟ يُخمَّن أن نعم، لكنه غير مبرهَن عليه.

👥 الأقارب: الأعداد المتحابة

يكون عددان متحابين إذا كان مجموع القواسم الفعلية لأحدهما يساوي الآخر، والعكس بالعكس. أول ثنائية:

220: القواسم الفعلية 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 → المجموع = 284
284: القواسم الفعلية 1, 2, 4, 71, 142 → المجموع = 220

كانت هذه الثنائية (220, 284) معروفة لدى الفيتاغوريين. وفي العصور الوسطى، كانت الأعداد المتحابة تُستخدم في الطلسمات الإسلامية للرمز إلى الصداقة.

🎓 الرابط مع برنامج البكالوريا علوم رياضية

التفكيك إلى عوامل أولية: ضروري لإيجاد جميع القواسم
مجموع القواسم σ(n): إذا كان n = $p_{1}^{α_{1}}$ · $p_{2}^{α_{2}}$ · …، فإن σ(n) = ∏ ( $p_{i}$ ^α_i+1−1)/( $p_{i}$ −1)
مبرهنة فيرما: أعداد ميرسين الأولية حالة خاصة منها
الحسابيات عمومًا: تُجسّد الأعداد التامة غنى الأسئلة المفتوحة في نظرية الأعداد

🧠 تأمل أخير

الأعداد التامة هي النموذج الأصلي لـالمسائل الرياضية البسيطة لكن العميقة بشكل لا يُصدَّق. يمكنك أن تشرح السؤال لطفل عمره 10 سنوات. ومع ذلك، بعد 2300 سنة، ما زلنا لا نعرف هل يوجد منها عدد لا نهائي، ولا هل توجد منها أعداد فردية.

هذا ما يجعل الرياضيات مُدمِنة إلى هذا الحد: سؤال المبتدئ الساذج يصبح سؤال الخبير الصعب. والخبر السار: يمكنك أن تساهم. مشروع GIMPS (البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية عبر الإنترنت) يستقطب الهواة منذ سنة 1996 للبحث عن أعداد ميرسين أولية جديدة باستخدام برنامج حر. وبالتالي عن أعداد تامة جديدة.

🎯

تحقّق من فهمك

٣ أسئلة قصيرة للتأكد من مكتسباتك. يمكنك إعادة المحاولة.

0^{1500}

(نتائج حديثة). جميع الأعداد المعروفة (~51 في 2024) زوجية وعلى صيغة إقليدس."},{"q":"ما هي صيغة الأعداد الكاملة الزوجية المعروفة، حسب إقليدس-أويلر؟","options":["كل مضاعف للعدد 6","

2^{p - 1} t im es

(

2^{p}

− 1)، حيث (

2^{p}

− 1) عدد أولي لمرسين","جداء عددين أوليين","كل مربع زوجي"],"correct":1,"explanation":"مبرهنة إقليدس-أويلر: كل عدد كامل زوجي يُكتب

2^{p - 1} t im es

(

2^{p}

− 1) مع

2^{p}

− 1 أولي (= أولي لمرسين). إذن: إيجاد عدد كامل زوجي

i f f

إيجاد عدد أولي لمرسين. أكبر عملية بحث حاسوبي موزع في التاريخ (GIMPS)."}]">

← أطلس المفاهيم يُثرى الأطلس كل أسبوع

Disponible dans 0 jour

الأعداد التامة

💎 6 و 28: أول أفراد العائلة

🎛️ اكتشف الأعداد التامة

🎛️ كاشف الأعداد التامة

📜 مبرهنة إقليدس-أويلر

🔍 أعداد ميرسين

❓ 4 ألغاز ما زالت مفتوحة

👥 الأقارب: الأعداد المتحابة

🎓 الرابط مع برنامج البكالوريا علوم رياضية

🧠 تأمل أخير

تحقّق من فهمك