🎛️ العب مونتي هول 1000 مرة وقارن بين الاستراتيجيتين
استراتيجية «الاحتفاظ» مقابل «التغيير». ستُظهر لك الإحصائيات دون منازع لماذا يجب التغيير دائمًا.
الاحتفاظ — الجولات
0
الاحتفاظ — الانتصارات
0 (0%)
التغيير — الجولات
0
التغيير — الانتصارات
0 (0%)
أطلق المحاكاة. سترى استراتيجية «التغيير» تتقارب نحو 2/3 ≈ 66.7%، واستراتيجية «الاحتفاظ» نحو 1/3 ≈ 33.3%.
📺 السياق: برنامج تلفزيوني أمريكي
في الستينيات والسبعينيات، حقق البرنامج التلفزيوني Let's Make a Deal نجاحًا باهرًا في الولايات المتحدة. المقدّم، مونتي هول، يضع المتسابق أمام ثلاثة أبواب. خلف أحدها تختبئ سيارة. وخلف البابين الآخرين، عنزتان.
يختار المتسابق بابًا (لنقل الباب 1). المقدّم، الذي يعرف مكان السيارة، يفتح بابًا آخر (لنقل الباب 3) ويكشف عن عنزة. ثم يقترح على المتسابق: «هل تريد التغيير إلى الباب 2؟»
ماذا تفعل؟ معظم الناس يجيبون: «هذا لا يغيّر شيئًا، إنها 50/50». وكلهم على خطأ.
الجواب الصحيح
إذا غيّرت، فلديك 2/3 ≈ 66.7% من فرص الفوز.
وإذا احتفظت، فلديك فقط 1/3 ≈ 33.3%.
😱 سنة 1990: الجدل العالمي
في شتنبر 1990، نشرت ماريلين فوس سافانت، الصحفية المعروفة بمعدل ذكائها البالغ 228 (رقم قياسي عالمي)، المسألة في عمودها بمجلة Parade. وكان جوابها: «غيّروا الباب، فإنكم تضاعفون فرصكم».
فتلقّت 10000 رسالة احتجاج، من بينها 1000 رسالة موقّعة من طرف طلبة دكتوراه في الرياضيات. وصفها البعض بعدم الكفاءة، وطلب منها آخرون أن «تعود لدراسة الاحتمالات». عالم الرياضيات بول إردوش، أحد أكثر علماء القرن العشرين إنتاجًا، لم يصدّق الأمر حتى عُرضت عليه محاكاة حاسوبية.
كانت ماريلين فوس سافانت على حق. وكان جميع الآخرين على خطأ. استمرت الفضيحة أشهرًا. وتلقّت الجامعات الأمريكية اعتذارات علنية من أساتذة كانوا قد أخطأوا أمام الملأ.
🎯 لماذا يكون الجواب الصحيح هو «التغيير»؟
الخطأ الشائع هو الاعتقاد بأنه عندما يتبقى بابان، تكون الفرصة 50/50. خطأ، لأن البابين ليس لهما نفس التاريخ.
المقاربة 1 — الاستدلال المباشر
في اللحظة التي تختار فيها بابك (لنقل الباب 1):
- P(السيارة في 1) = 1/3
- P(السيارة في 2 أو 3) = 2/3
يفتح المقدّم بابًا فارغًا من بين البابين اللذين لم تخترهما. لكن المعلومة بأن السيارة موجودة في 3 تظل صالحة: هذان البابان يحتويان مجتمعَين على السيارة باحتمال 2/3.
وبما أن أحد البابين قد أُقصي الآن (الباب 3 إن كان هو الذي فتحه المقدّم)، فإن الباب 2 يمتص وحده الـ 2/3 من الاحتمال. ولهذا فإن التغيير يضاعف فرصك.
المقاربة 2 — جدول شامل
افترض أنك تختار دائمًا الباب 1، وأحصِ الحالات (المتساوية الاحتمال):
| السيارة في | المقدّم يفتح | الاحتفاظ ← النتيجة | التغيير ← النتيجة |
|---|---|---|---|
| الباب 1 | 2 أو 3 | 🚗 فوز | 🐐 خسارة |
| الباب 2 | 3 (مُجبَر) | 🐐 خسارة | 🚗 فوز |
| الباب 3 | 2 (مُجبَر) | 🐐 خسارة | 🚗 فوز |
استراتيجية «الاحتفاظ»: تفوز في حالة واحدة من 3 = 1/3. استراتيجية «التغيير»: تفوز في حالتين من 3 = 2/3. برهان بدون صيغة، بالتعداد.
🚪 التعميم إلى n من الأبواب
تخيّل الآن 100 باب. تختار واحدًا منها (احتمال 1/100 للفوز). يفتح المقدّم 98 بابًا فارغًا من بين الـ 99 الأخرى. لا يتبقى سوى بابك الأولي وباب آخر. هل يجب التغيير؟
بالطبع! بابك الأولي لديه 1/100. الباب الآخر المتبقي قد امتص كل الـ 99/100. أنت تضاعف فرصك بمقدار 99 مرة بالتغيير. مع هذه النسخة ذات الـ 100 باب، يصبح الحدس واضحًا من جديد.
📐 الصيغة العامة (الاحتمالات الشرطية)
لنرمز Vi = «السيارة خلف الباب i»، و Oj = «المقدّم يفتح الباب j». إذا اخترت الباب 1 وفتح المقدّم الباب 3:
P(V2 | O3) = P(O3 | V2) · P(V2) / P(O3)
حيث:
- P(V2) = 1/3 (قبليًا)
- P(O3 | V2) = 1 (ليس أمام المقدّم سوى الباب 3 ليفتحه)
- P(O3) = 1/2 (حسب استراتيجية المقدّم)
الحساب: P(V2 | O3) = 1 · (1/3) / (1/2) = 2/3. وهو المطلوب بصيغة بايز.
🌍 تطبيقات مونتي هول
- التعلّم البايزي: إنه المثال النموذجي على تأثير المعلومة الجديدة على توزيع قبلي. حاضر في جميع دروس الإحصاء البايزي.
- نظرية القرار: يوضّح مونتي هول أن الاستراتيجية المثلى تعتمد على المعلومة المتاحة، لا على الفرص الخام فقط.
- الاقتصاد السلوكي: دُرس من طرف كاهنمان وتفيرسكي كمثال على تحيّز معرفي منهجي («تحيّز تساوي الاحتمال»).
- الاختبارات النفسية: يُستخدم مونتي هول في اختبارات الكفاءة الإحصائية. قليل جدًا من الناس يحلّونه من المرة الأولى، حتى بين الباحثين.
🎓 الرابط مع برنامجك
- الاحتمالات الشرطية (الثانية بكالوريا علوم رياضية): مونتي هول هو المثال المثالي لتطبيق مبرهنة بايز. يرد بانتظام في الامتحانات.
- احتمال التقاطع: تستخدم صيغة بايز P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). ومونتي هول برهان ملموس عليها.
- الاستقلال: نتعلّم هنا أن معلومة المقدّم ليست مستقلة عن الاختيار الأولي، على عكس الحدس.
- الحدس الاحتمالي الخاطئ: مونتي هول من بين المغالطات التي نتناولها في أطلس الأخطاء المعرفية.
Vérifie ta compréhension
3 questions courtes pour valider tes acquis. Tu peux réessayer.