🎛️ حاول عبور الجسور السبعة
انقر على قطاع للانطلاق، ثم على الجسور لعبورها. الهدف: المرور مرة واحدة فقط على كل من الجسور السبعة. حظًا سعيدًا — سيخبرك أويلر لماذا هذا مستحيل.
الجسور المعبورة
0 / 7
القطاع الحالي
—
الحالة
اختر نقطة انطلاق
تلميح: كل قطاع يصل إليه عدد فردي من الجسور. يقول أويلر إن هذا عائق حاسم...
🏰 1736: مدينة بروسية، ولغز شعبي
كونيغسبرغ (اليوم كالينينغراد، في روسيا) كانت في القرن الثامن عشر مدينة بروسية يخترقها نهر بريغل. يُكوّن هذا النهر جزيرتين متصلتين فيما بينهما وبالضفتين عبر 7 جسور.
بعد غداء يوم الأحد، طرح السكان على أنفسهم لغزًا صار مشهورًا:
« هل يمكن الانطلاق من حيّ، والتجول في المدينة بعبور كل من الجسور السبعة مرة واحدة بالضبط، والعودة إلى نقطة الانطلاق؟ »
لم ينجح أحد في ذلك. لكن لم يعرف أحد أيضًا كيف يثبت أن الأمر مستحيل.
🎯 أويلر يدخل المشهد
ليونهارت أويلر (1707-1783)، عالم رياضيات سويسري، كان آنذاك في سانت بطرسبرغ. كارل إيهلر، عمدة دانتزيغ، كتب إليه ليطرح عليه المسألة. أجاب أويلر في البداية بأن « السؤال يبدو له قليل الصلة بالرياضيات ». ثم عدل عن رأيه ونشر في 1736 المقال « Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis ».
لمسة عبقرية أويلر: تخلّى عن الهندسة. لا تهم المسافات، ولا أشكال الجزر، ولا أطوال الجسور. كل ما يهم هو:
- كم عدد الأحياء (الرؤوس)؟
- كم عدد الجسور (الحواف) التي تربط كل زوج من الأحياء؟
بالنسبة لكونيغسبرغ: 4 رؤوس (الضفتان + الجزيرتان) و7 حواف (الجسور). إنه أول مبيان في تاريخ الرياضيات.
🔑 شرط أويلر: مسألة زوجية
يلاحظ أويلر: إذا قمت بمسار يمر عبر كل حافة مرة واحدة فقط (مسار « أويليري »)، فإنك في كل مرة تدخل فيها إلى رأس، تخرج منه. إلا إذا كان نقطة الانطلاق أو الوصول.
إذن: بالنسبة لرأس « وسيط »، يجب أن يكون عدد الحواف التي تصل إليه (الدرجة) زوجيًا (عدد المداخل يساوي عدد المخارج).
مبرهنة أويلر (1736)
يقبل مبيان مترابط دورة أويليرية (تعود إلى نقطة الانطلاق)
⇔ جميع رؤوسه ذات درجة زوجية.
ويقبل مسارًا أويليريًا (دون عودة)
⇔ يحتوي بالضبط على 0 أو 2 من الرؤوس ذات الدرجة الفردية.
❌ كونيغسبرغ: الرؤوس الأربعة كلها فردية
في كونيغسبرغ، احسب الدرجات:
- الجزيرة الشمالية: 3 جسور (الدرجة 3، فردية).
- الجزيرة الجنوبية: 5 جسور (الدرجة 5، فردية).
- الضفة الشمالية: 3 جسور (الدرجة 3، فردية).
- الضفة الجنوبية: 3 جسور (الدرجة 3، فردية).
4 رؤوس فردية > 2. حسب أويلر، لا دورة ولا مسار أويليري ممكن. كان سكان كونيغسبرغ على حق تجريبيًا: لا يوجد أي حل. قدم أويلر أول برهان رياضي على ذلك.
📚 المعجم المؤسِّس
- مبيان G = (V, E): مجموعة رؤوس V (« vertices ») وحواف E (« edges »).
- درجة رأس: عدد الحواف الواقعة عليه.
- مترابط: يمكن الانتقال من أي رأس إلى أي رأس آخر.
- دورة أويليرية: مسار مغلق يعبر كل حافة مرة واحدة بالضبط.
- مسار أويليري: صيغة مفتوحة (نقطة الانطلاق ≠ نقطة الوصول).
- دورة هاميلتونية: صيغة أكثر صرامة — المرور مرة واحدة فقط بكل رأس (وليس كل حافة). أصعب بكثير (NP-difficile).
🌍 9 غشت 1944: جسر أقل
خلال الحرب العالمية الثانية، دمّر القصف الحليف 2 من الجسور السبعة. أصبحت كونيغسبرغ كالينينغراد (الاتحاد السوفياتي، 1946). اليوم، لم يبقَ سوى 5 جسور أصلية، وتغيّرت درجات الرؤوس: يوجد الآن مسار أويليري ممكن. سوّى التاريخ اللغز بالمتفجرات.
🚀 المبيانات اليوم: في كل مكان
منذ أويلر، انفجرت نظرية المبيانات. بعض التطبيقات الضخمة:
- الأنترنت: يُنمذَج كمبيان عملاق (~50 مليار صفحة ويب، كل رابط تشعّبي = حافة).
- الشبكات الاجتماعية: فيسبوك، X (تويتر)، لينكدإن — كل مستخدم رأس، كل « صديق »/« متابعة » حافة. نظرية ميلغرام (6 درجات من الفصل)، المركزية، المجتمعات.
- نظام تحديد المواقع وخرائط غوغل: الخريطة الطرقية = مبيان (التقاطعات = رؤوس، الشوارع = حواف موزونة بالمسافة/الزمن). أقصر مسار → ديكسترا (انظر المفهوم التالي).
- التوزيع الكهربائي: المحولات وخطوط الجهد العالي تشكل مبيانًا يجب موازنته.
- البيولوجيا: الشبكات العصبية، تفاعلات البروتين-البروتين، الميتابولومات، الأشجار التطورية.
- الكيمياء: الجزيئات = مبيانات (الذرات = رؤوس، الروابط = حواف).
- اللوجستيك: تحسين الجولات (مسألة البائع المتجول)، تخطيط المواعيد، وصفات أمازون.
- المترجمات: تحليل تدفق التحكم، مبيانات الاستدعاء، تلوين المسجلات.
- التشفير: مبيانات التوسع، رموز التصحيح LDPC (المستخدمة في الجيل الخامس و الواي فاي).
📐 الرابط مع برنامجك
المبيانات ليست في برنامج البكالوريا علوم رياضية المغربي، لكن عدة مفاهيم تتصل بها مباشرة:
- الزوجية: يستند برهان أويلر بالكامل على حسابيات زوجي/فردي. برنامج الحسابيات الثانية بكالوريا علوم رياضية.
- الترجع: تُبرهن معظم مبرهنات المبيانات بالترجع على عدد الرؤوس أو الحواف.
- التعداد: عدّ المسارات، الأشجار المغطية، الزُّمَر. برنامج التعداد الثانية بكالوريا.
- المصفوفات (ما بعد البكالوريا، الأقسام التحضيرية): لكل مبيان مصفوفة تجاور. القوة تعطي عدد المسارات ذات الطول n.
- الخوارزميات: DFS، BFS، Dijkstra، A* — خوارزميات ستراها في المعلوميات بالأقسام التحضيرية وبمدرسة المهندسين.
🎓 صيغة أويلر إضافية: V − E + F = 2
دائمًا في 1750، اكتشف أويلر صيغة سحرية حول المبيانات المستوية (التي يمكن رسمها دون تقاطعات):
تنطبق هذه الصيغة أيضًا على متعددات الوجوه المحدبة: بالنسبة لمكعب، V=8، E=12، F=6 → 8−12+6=2. بالنسبة لرباعي الوجوه، 4−6+4=2. بالنسبة لاثني عشري الوجوه، 20−30+12=2. إنه لا متغير طوبولوجي أساسي، عُمِّم في القرن العشرين إلى مميزة أويلر-بوانكاريه، أساس كل الطوبولوجيا الجبرية الحديثة.
تحقّق من فهمك
٣ أسئلة قصيرة للتأكد من مكتسباتك. يمكنك إعادة المحاولة.