🍞 مشكلة الخباز
أنت خباز. يمكنك صنع منتجين :
- الخبز : 1 كغ من الدقيق، 0.5 ساعة عمل، هامش ربح 4 دراهم
- الحلوى : 2 كغ من الدقيق، 1 ساعة عمل، هامش ربح 7 دراهم
لديك 100 كغ من الدقيق و30 ساعة عمل متاحة يوميا. السؤال : كم عدد الأرغفة x وكم عدد قطع الحلوى y التي يجب إنتاجها لتعظيم هامش ربحك ؟
هذه المشكلة، بشكل أو بآخر، هي الواقع اليومي لملايين الصناعات. تسمى صياغتها الرياضية البرمجة الخطية.
🎛️ المجال الممكن والأمثل
🎛️ تعظيم تفاعلي ثنائي الأبعاد
حرّك معاملات دالة الهدف. ينتقل الحل الأمثل على رأس من رؤوس المضلع.
الحل الأمثل المكتشف
x* = 20, y* = 40 → marge = 360 DH
📐 الصياغة الرياضية
في البرمجة الخطية، نسعى إلى :
تعظيم : f(x, y) = ax + by (هدف خطي)
تحت القيود :
x + 2y ≤ 100 (الدقيق)
0,5x + y ≤ 30 (العمل)
x ≥ 0, y ≥ 0 (الموجبية)
🎯 المبرهنة الأساسية : الحل الأمثل يقع على رأس
المبرهنة الأساسية : بالنسبة لبرنامج خطي، يتحقق الحل الأمثل دائما على رأس من المجال الممكن (مضلع محدب).
في مثالنا : الرؤوس الأربعة هي (0, 0)، (60, 0)، (20, 40) و(0, 30). نحسب قيمة f عند كل منها :
- (0, 0) : هامش الربح = 0 درهم
- (60, 0) : هامش الربح = 240 درهم
- (20, 40) : هامش الربح = 80 + 280 = 360 درهم ← الحل الأمثل
- (0, 30) : هامش الربح = 210 درهم
🌟 خوارزمية السمبلكس (دانتزيغ، 1947)
في عام 1947، اخترع عالم الرياضيات الأمريكي جورج دانتزيغ، وكان آنذاك في البنتاغون، خوارزمية السمبلكس : خوارزمية تنتقل من رأس إلى رأس في المضلع، مختارة دائما الاتجاه الذي يحسّن الهدف.
بالنسبة لـ n متغيرا وm قيدا، تجد السمبلكس الحل الأمثل في بضع تكرارات عمليا (رغم أن التعقيد النظري أسّي في أسوأ الحالات). في عام 2026، أصبحنا نحل بشكل اعتيادي مسائل تضم ملايين المتغيرات في بضع ثوان.
🏭 التطبيقات الصناعية
📚 «مشكلة الحمية الغذائية» (ستيغلر، 1945)
في عام 1945، طرح الاقتصادي جورج ستيغلر (الحائز لاحقا على جائزة نوبل) المشكلة التالية : ما هي القائمة الأسبوعية الأقل كلفة التي توفر كل المغذيات التي يحتاجها شخص بالغ ؟
حدد 9 مغذيات أساسية، ودرس 77 طعاما بأسعارها وتركيباتها، ثم حلّ المشكلة يدويا (3 أشهر من الحساب). الكلفة السنوية المثلى : 39.93 دولارا في عام 1945. وعندما ظهرت السمبلكس في 1947، أعيد الحساب في بضع ساعات، فوجدوا 39.69 دولارا. كان ستيغلر قد أخطأ بمقدار 0.24 دولارا.
🎓 هل هي ضمن برنامج البكالوريا علوم رياضية ؟
البرمجة الخطية ليست مدرجة صراحة في برنامج البكالوريا علوم رياضية، لكن مكوناتها موجودة فيه :
- أنظمة المتراجحات الخطية : تُدرس في الأولى بكالوريا علوم رياضية
- مناطق المستوى : تمثيل القيود
- القيمة القصوى/الدنيا لدالة خطية : الرابط مع القيم الحدية
- المصفوفات (مفهوم أطلس) : القيود على شكل Ax ≤ b
🚀 للتعمق أكثر
- البرمجة الخطية بأعداد صحيحة (PLNE) : يجب أن تكون المتغيرات صحيحة → NP-تامة، أصعب بكثير
- البرمجة المحدبة : هدف محدب وقيود محدبة (قابلة للحل دائما)
- البرمجة غير الخطية : الأمثلة العامة (انحدار التدرج، إلخ)
- بحوث العمليات : التخصص الذي يشمل كل ذلك
🧠 تأمل أخير
البرمجة الخطية هي واحدة من أكثر الأدوات الرياضية ربحية على الإطلاق مما اخترع. وفقا لأحد التقديرات، تولّد السمبلكس وامتداداتها كل سنة عدة مئات من مليارات الدولارات من الوفورات العالمية، فقط من خلال أمثلة القرارات اللوجستية.
تعلّم كيف تطرح مشكلة بطريقة رياضية — بهدف وقيود واضحة. هذه المهارة تساوي ذهبا، سواء أصبحت مهندسا، أو اقتصاديا، أو عالم بيانات، أو رائد أعمال.