🎛️ اضبط الأنصاف القطرية وشاهد الوريدة وهي تُرسم
دائرة صغيرة تتدحرج داخل دائرة كبيرة. قلم مثبت في الدائرة الصغيرة يترك أثرًا: إنه منحنى فوق-تروكويدي. حرّك المؤشرات، ثم انقر « أعد الرسم ».
الدائرة الصغيرة تتدحرج دون انزلاق داخل الكبيرة. النقطة الملونة هي سن القلم الذي يرسم المنحنى.
🧸 1965: لعبة تجعل الأطفال رياضيين دون أن يدروا
في عام 1965، قدّم المهندس البريطاني دينيس فيشر في معرض نورمبرغ للألعاب علبة مملوءة بـ عجلات مسننة بلاستيكية وأطواق مثقوبة بالثقوب. وهكذا وُلد السبيروغراف. قاعدة اللعبة طفولية: تثبّت عجلة صغيرة داخل طوق كبير، وتُدخل سن قلم في أحد ثقوب العجلة الصغيرة، ثم تُديرها. تتدحرج العجلة داخل الطوق، ويتبعها القلم… وبعد دورة أو دورتين تظهر وريدة تنويمية متناظرة تمامًا.
كانت اللعبة نجاحًا عالميًا — اختيرت لعبة العام في المملكة المتحدة سنة 1967. لكن ما كان يجهله ملايين الأطفال هو أنهم كانوا يرسمون، بأيديهم، منحنيات ظل علماء الرياضيات يدرسونها منذ القرن الثامن عشر: المنحنيات فوق-التروكويدية.
الفكرة العبقرية
أنت لا ترسم المنحنى « نقطة بنقطة ». أنت ترسم حركة:
دائرة تتدحرج داخل دائرة. جمال الوريدة ليس سوى نتيجة
لهذه الميكانيكا. غيّر حجم العجلات، فتتغيّر كل الصورة.
⚙️ الميكانيكا: دائرة تتدحرج داخل دائرة
تخيّل دائرة كبيرة ثابتة نصف قطرها R. في داخلها، دائرة صغيرة نصف قطرها r تتدحرج دون انزلاق على طول الحافة، مثل قطعة نقدية تتدحرج داخل حلقة. على هذه الدائرة الصغيرة، نثبّت قلمًا على مسافة d من مركزها (d هي موضع الثقب في عجلة اللعبة).
تتركّب دورانان: مركز الدائرة الصغيرة يدور حول الدائرة الكبيرة، وفي الوقت نفسه تدور الدائرة الصغيرة حول نفسها لأنها تتدحرج. هذا الدوران المزدوج هو ما يصنع البتلات. أما القلم، فينجرف مع الدورانين معًا — ومن هنا يأتي المسار المعقّد والبديع.
🧮 المعادلات الوسيطية للمنحنى فوق-التروكويدي
لوصف موضع القلم، نستعمل وسيطًا t (الزمن، أو زاوية الدوران). لكل قيمة من t تقابل نقطة (x(t), y(t)) من المنحنى. ميكانيكا التدحرج تعطي، في اللحظة t:
x(t) = (R − r) · cos t + d · cos(R − rr · t)
y(t) = (R − r) · sin t − d · sin(R − rr · t)
اقرأها على أنها جمع حركتين دائريتين. الحد الأول، (R − r)·cos t و (R − r)·sin t، هو مركز الدائرة الصغيرة الذي يرسم دائرة نصف قطرها R − r. أما الحد الثاني، بـ d، فهو القلم الذي يدور حول هذا المركز، لكن أسرع بكثير — بالضبط R − rr مرة أسرع، لأن العجلة تتدحرج. الإشارة « − » أمام الجيب تترجم كون العجلة تدور في الاتجاه المعاكس لإزاحتها (لأنها تتدحرج في الداخل).
🔢 سر النسبة R/r: لماذا ينغلق المنحنى
كل طابع الصورة يكمن في عدد واحد: النسبة Rr.
- إذا كانت R/r عددًا جذريًا p/q (كسرًا من أعداد صحيحة، مختزلًا إلى أقصى حد)، فإن المنحنى ينغلق على نفسه. وبدقة أكبر، يعود القلم إلى نقطة انطلاقه بعد q دورة بالضبط للدائرة الصغيرة حول الكبيرة، وتمتلك الوريدة حينها p بتلة. مثال: R = 200 و r = 75 يعطيان R/r = 8/3 (بعد الاختزال)، أي 8 بتلات في 3 دورات.
- إذا كانت R/r غير جذرية (مثلًا R/r = π)، فإن المنحنى لا ينغلق أبدًا. يمرّ القلم دائمًا بجانب نقطة انطلاقه وينتهي، في اللانهاية، بـ ملء حلقة كاملة بين دائرتين. إنها وريدة لا تكتمل أبدًا.
لهذا، في علبة السبيروغراف الحقيقية، كان عدد الثقوب وعدد الأسنان يُختاران بعناية: كان المصنّعون يلعبون بـ القاسم المشترك الأكبر لـ R و r. ولإغلاق المنحنى في أسرع وقت ممكن، نحسب t يتراوح من 0 إلى 2π · rpgcd(R, r) : وهو عدد الدورات التي تحتاجها الدائرة الصغيرة لتكمل دورتها.
دور الوسيط d
نصف القطر R ونصف القطر الصغير r يقرّران شكل الوريدة (كم بتلة).
أما المسافة d للقلم، فلا تغيّر عدد البتلات بل عمقها:
قلم قريب من المركز (d صغير) → بتلات ناعمة ومستديرة ؛ قلم قريب من الحافة (d ≈ r) → بتلات
مدببة تلامس المركز. وإذا كانت d = r بالضبط، نحصل على منحنى فوق-سيكلويدي (hypocycloïde)،
بأطراف زاويّة (حالة خاصة شهيرة: المنحنى النجمي ذو 4 فروع عندما R = 4r).
🪐 فوق-تروكويدي أم فوق-تروكويدي خارجي: في الداخل أو في الخارج
كل شيء يتوقف على المكان الذي تتدحرج فيه الدائرة الصغيرة:
- المنحنى فوق-التروكويدي (من اليونانية hypo، « تحت، في الداخل »): الدائرة الصغيرة تتدحرج داخل الكبيرة. وهي حالة السبيروغراف الكلاسيكي، وهي حالة الرسم المتحرك أعلاه.
- المنحنى فوق-تروكويدي خارجي (épitrochoïde) (من اليونانية epi، « على، فوق »): الدائرة الصغيرة تتدحرج خارج الكبيرة، حولها. تتشابه المعادلات، لكن مع R + r بدل R − r : x(t) = (R + r)·cos t − d·cos(R + rr·t). نحصل على وريدات تنتفخ نحو الخارج.
عندما يكون القلم على حافة الدائرة المتدحرجة (d = r)، تصبح هذه العائلات منحنيات فوق-سيكلويدية ومنحنيات فوق-سيكلويدية خارجية — وهي المنحنيات التي كان بطليموس يتخيّلها منذ ألفي سنة، لوصف الحركة « الحلقية » للكواكب في السماء.
🔗 الجسر مع مقرّر الرياضيات
السبيروغراف ليس مجرد لعبة: إنه يجمع عدة مفاهيم من الثانوي والعالي.
- المنحنيات الوسيطية: نقطة M(t) = (x(t), y(t)) تتحرك عندما يتغيّر t، بدل معادلة y = f(x). إنه جوهر الموضوع.
- حساب المثلثات: جيب التمام والجيب، أدوارهما، وصيغ الجمع المختبئة خلف تراكب الدورانين.
- الحسابيات: القاسم المشترك الأكبر لـ R و r، الكسور الجذرية مقابل غير الجذرية — وهو بالضبط ما يقرّر إن كان المنحنى ينغلق أم لا.
- المتجهات: موضع القلم هو مجموع متجهتين دوّارتين، إحداهما طويلة وبطيئة، والأخرى قصيرة وسريعة.
- المشتقة والسرعة: باشتقاق x(t) و y(t)، نجد متجهة السرعة، التي تنعدم بالضبط عند أطراف البتلات (نقط الارتداد).
🌍 المبدأ نفسه في كل مكان حولك
الدوائر التي تتدحرج داخل دوائر ليست حكرًا على الألعاب:
- التروس: شكل الأسنان التي تتعشّق دون اهتزاز يتبع ملمحًا يُسمى « منحنى ناشر الدائرة »، وهو قريب مباشر من هذه المنحنيات المتدحرجة.
- محرك فانكل الدوّار: دوّاره المثلثي يدور في غرفة على شكل منحنى فوق-تروكويدي خارجي. محرك بعض سيارات مازدا هو واحد من هذه المنحنيات.
- علم الفلك: « أفلاك التدوير » عند بطليموس، تلك الدوائر الصغيرة التي كانت تتدحرج على دوائر كبيرة لتفسير سير الكواكب، هي بالضبط منحنيات فوق-سيكلويدية خارجية.
- الفن والتصميم: زخارف الأوراق النقدية المضادة للتزوير (التحبير الزخرفي)، الشعارات، الزخارف — كثير منها سبيروغرافات رياضية.