🐰 معادلة لإحصاء الأرانب
تخيّل ساكنة من الأرانب في مرج مغلق. كل سنة، نسجّل عدد الأفراد — ليس بالعدد الخام، بل كنسبة من العدد الأقصى الممكن. نضع إذن xn بين 0 و 1 : xn = 0 تعني «لم يبقَ أي أرنب » و xn = 1 «المرج مُشبَع ».
تتعارض قوتان. من جهة، التكاثر : كلما زاد عدد الأرانب، كثُرت الولادات، وهذا يدفع إلى الضرب في معدّل r. ومن جهة أخرى، الموارد المحدودة : حين يمتلئ المرج، يقلّ الغذاء وتنهار الساكنة، وهذا ما يترجمه العامل (1 − xn) الذي يكبح النمو عند الاقتراب من التشبّع. نحصل على المتتالية اللوجستية :
xn+1 = r · xn · (1 − xn)
مع x0 = 0,5 و r وسيط (هو «معدّل الخصوبة ») بين 0 و 4.
إنه عالِم البيئة روبرت ماي الذي بيّن، في مقال مدوٍّ سنة 1976 (مجلة Nature)، أن هذه المتتالية التي تبدو غير مؤذية تُخفي واحدًا من أعمق السلوكيات في الرياضيات. قاعدة بسيطة، حتمية، بضربة واحدة فقط : ومع ذلك، فإن الشواش في نهاية الطريق.
🎛️ مبيان التشعب — العب مع r
ها هو نجم هذا المفهوم. على محور الأفاصيل، الوسيط r ؛ وعلى محور الأراتيب، القيم التي تتجمّع نحوها المتتالية في النهاية (جاذبها). حرّك المؤشّر : إلى اليسار، فرع واحد (تستقر المتتالية). ثم ينقسم إلى اثنين : فرعان، ثم 4، ثم 8… وإلى اليمين، سحابة من النقط : الشواش.
🦋 مبيان التشعب مباشرةً
كل عمود من البكسلات يقابل قيمة r. نكرّر العملية 600 مرة، نُهمل الطور الانتقالي، ثم نرسم الجاذب.
المتتالية لهذه القيمة r (مدرّج القيم الـ 30 الأولى، x0 = 0,5)
🔱 مضاعفة الدور
لنتابع الحكاية بزيادة r :
- r < 1 : تنقرض الساكنة، xn → 0. ولادات قليلة جدًّا.
- 1 ≤ r < 3 : تتقارب المتتالية نحو قيمة توازن وحيدة x* = 1 − 1/r. فرع واحد.
- 3 ≤ r < 3,449 : يصبح التوازن غير مستقر ! تبدأ المتتالية في التذبذب بين قيمتين (دور قدره 2) : سنة صغيرة، سنة كبيرة، سنة صغيرة…
- 3,449 ≤ r < 3,544 : ينقسم كل فرع من جديد → دور قدره 4.
- ثم 8، 16، 32… تتوالى الانقسامات بسرعة متزايدة.
- r ≈ 3,5699… : نقطة التراكم. وما بعدها، إنه الشواش.
يُسمّى هذا السيناريو متتالية مضاعفة الدور. كل انقسام هو تشعّب : قيمة r حيث يتغيّر السلوك النوعي للمتتالية تغيّرًا مفاجئًا.
✨ ثابتة فايغنباوم — معجزة شمولية
لنرمز بـ r1، r2، r3… لقيم r التي تحدث عندها الانقسامات (نحو الأدوار 2، 4، 8…). تتقلّص الفروق بين التشعبات المتتالية هندسيًّا. قاس ميتشل فايغنباوم النسبة سنة 1975 :
(rn − rn−1) / (rn+1 − rn) → δ ≈ 4,669201…
تُسمّى هذه الثابتة δ ثابتة فايغنباوم.
🌀 الدخول في الشواش
حين يصبح r > 3,57، لم يعد الجاذب دورًا منتهيًا بل سحابة من النقط تملأ مجالات بأكملها. لا تتكرّر المتتالية أبدًا، والأهم أنها تصبح حسّاسة للشروط الابتدائية : قيمتان للانطلاق x0 متطابقتان تقريبًا تُنتجان، بعد بضع عشرات من الحدود، مسارَين مختلفين تمامًا. إنه أثر الفراشة، هنا على متتالية تراجعية بسيطة.
على المبيان، ضع r ≈ 3,9 : المتتالية المعروضة على شكل مدرّج تقفز في كل مكان دون منطق ظاهر. ومع ذلك، لا وجود لأي صدفة : نفس الصيغة، نفس x0، تُعيدان بالضبط نفس المتتالية. الشواش حتمي.
🪟 نوافذ العودة إلى النظام
تأمّل المنطقة الشواشية جيدًا : إنها ليست منتظمة. عند r ≈ 3,829، يظهر شريط عمودي فاتح : تتقلّص السحابة فجأةً إلى 3 فروع. إنها نافذة استقرار — يظهر دور قدره 3 في قلب الشواش ! ثم ينقسم هذا الدور 3 بدوره (3، 6، 12…) ويعود الشواش.
تقول مبرهنة شاركوفسكي (1964) والنتيجة الشهيرة لـ Li & Yorke «الدور 3 يستلزم الشواش » (1975) أمرًا غير عادي : بمجرد أن تمتلك متتالية تراجعية دورًا قدره 3، فإنها تمتلك حينئذٍ أدوارًا من جميع الأطوال الممكنة، وسلوكًا شواشيًّا. فوجود دور قدره 3 هو بصمة الشواش.
🎓 العلاقة ببرنامجك الثانية بكالوريا علوم رياضية
تستثمر المتتالية اللوجستية بالضبط أدوات درس المتتاليات :
- متتالية تراجعية xn+1 = f(xn) مع f(x) = r·x·(1 − x) : قطع مكافئ، دالة من الدرجة الثانية تعرف كيف تدرسها.
- النقط الثابتة : حلّ f(x) = x يعطي x = 0 و x* = 1 − 1/r. وهما المرشّحان لنهاية المتتالية.
- الاستقرار : تجذب نقطة ثابتة المتتالية إذا كان | f ′(x*) | < 1، وتطردها إذا كان | f ′(x*) | > 1. هنا f ′(x*) = 2 − r : الشرط | 2 − r | < 1 يعطي بالضبط 1 < r < 3. وهي بالضبط الحدود التي يحدث عندها التشعب الأول !
- التمثيل على شكل مدرّج : الإنشاء البياني الذي تنجزه في الأعمال الموجَّهة (رسم y = f(x) و y = x، ثم «الارتداد ») هو إنشاء المبيان الصغير أعلاه.
- التقارب / التباعد : الرتابة، الأدوار، التباعد — كل سلوكيات الدرس تظهر حسب r.
بعبارة أخرى : بدالة من الدرجة الثانية ومعيار الاستقرار | f ′(x*) | < 1، تُبرهن بنفسك بداية المبيان بأكملها. والباقي — فايغنباوم، شاركوفسكي — هو الامتداد المُدوِّخ لما تتعلّمه هذه السنة.
🧠 تأمّل أخير
المتتالية اللوجستية هي بلا شك أجمل مثال على فكرة أن التعقيد يمكن أن يولد من قواعد في غاية البساطة. ضربة واحدة، قطع مكافئ : ونلمس عدم القابلية الجوهرية للتنبؤ في الكون، وثوابت كونية، ونظامًا خفيًّا داخل الفوضى.
ختم روبرت ماي مقاله سنة 1976 بنداء : أن يتعلّم كل واحد، منذ المدرسة، أن معادلات بسيطة قد يكون لها سلوك معقّد على نحو مُرعب. وهذا، على طريقته، ما تقدّمه لك هذه الصفحة من أطلس.