Recherche des positions d'un objet donnant une image de taille double

Une lentille convergente a pour distance focale $f^{\prime }=12\text{ cm}$. On souhaite obtenir une image dont la taille est le double de celle de l'objet, en valeur absolue ($|\gamma |=2$).

1. Écrire la relation liant $\overline{O{A}^{\prime }}$ et $\overline{OA}$ pour que $|\gamma |=2$ (on distinguera les deux cas $\gamma =2$ et $\gamma =-2$).

2. En combinant cette relation avec la relation de conjugaison, déterminer la position $\overline{OA}$ de l'objet correspondant au cas où l'image est réelle et renversée ($\gamma =-2$).

3. Déterminer la position $\overline{OA}$ de l'objet correspondant au cas où l'image est virtuelle et droite ($\gamma =2$).

4. Pour chacun des deux cas, préciser si l'objet est plus proche ou plus loin de la lentille que le foyer objet F, et commenter la cohérence de ce résultat avec la nature de l'image obtenue.