Un parachutiste et son équipement, de masse totale m=90kg, effectuent une chute verticale avant l'ouverture du parachute. On néglige la poussée d'Archimède et on modélise la force de frottement de l'air par f=kv2, où k est une constante positive inconnue. On prend g=9,8m.s−2, un axe vertical descendant, et v0=0. Le frottement varie ici comme le carré de la vitesse : l'équation n'est plus linéaire, mais la vitesse limite se trouve toujours en annulant l'accélération.1) Établir l'équation différentielle vérifiée par v(t). 2) Montrer que la vitesse limite s'écrit vlim=kmg. 3) Un enregistrement expérimental indique vlim=50m.s−1. En déduire la valeur de k. 4) On admet que v(t)=vlimtanh(τt), avec τ=gvlim, est solution de l'équation différentielle. Vérifier cette affirmation par substitution, sachant que dtd[tanh(τt)]=τ1[1−tanh2(τt)]. 5) Calculer τ, puis les vitesses atteintes aux instants t=τ et t=3τ. Commenter le résultat obtenu à t=3τ.
إرشادات
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1 الإرشاد 1
Le frottement varie ici comme le carré de la vitesse : l'équation devient $m\dfrac{dv}{dt} = m\,g - k\,v^{2}$, non linéaire.
2 الإرشاد 2
La vitesse limite s'obtient toujours en annulant l'accélération, d'où $k$ par inversion. Vérifier la solution proposée consiste à la dériver avec la formule fournie.
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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.
Le frottement varie ici comme le carré de la vitesse : l'équation devient mdtdv=mg−kv2, non linéaire.
La vitesse limite s'obtient toujours en annulant l'accélération, d'où k par inversion. Vérifier la solution proposée consiste à la dériver avec la formule fournie.