Une petite sphère de masse m = 15 g = 1 , 5 × 1 0 − 2 kg est lâchée sans vitesse initiale dans un bain de glycérine. Elle est soumise à son poids et à une force de frottement fluide f = k v , avec k = 6 , 0 × 1 0 − 2 kg.s − 1 . On prend g = 9 , 8 m.s − 2 et un axe vertical descendant. Bilan des forces sur une sphère lâchée dans un bain de glycérine Schéma d'une sphère lâchée sans vitesse initiale dans un bain de glycérine, représenté par un rectangle bleu clair. Un axe vertical orienté vers le bas, d'origine au point de lâcher, matérialise le repère de l'étude. Deux vecteurs partent du centre de la sphère : le poids, vertical vers le bas, et la force de frottement fluide, verticale vers le haut, opposée au mouvement. La poussée d'Archimède est négligée dans cet énoncé, elle ne figure donc pas sur le schéma. Sphère lâchée sans vitesse initiale dans la glycérine Axe vertical orienté vers le bas, origine au point de lâcher glycérine z O P f Données m = 15 g = 1,5×10⁻² kg k = 6,0×10⁻² kg·s⁻¹ f = k·v (frottement fluide) g = 9,8 m·s⁻² La poussée d'Archimède n'est pas prise en compte dans cet énoncé. Deux forces seulement ici — la poussée d'Archimède est négligée — et l'axe est orienté vers le bas , ce qui fixe les signes. 1) Établir l'équation différentielle vérifiée par v ( t ) . 2) Déterminer la vitesse limite v l im et le temps caractéristique τ . 3) Vérifier que v ( t ) = v l im ( 1 − e − t / τ ) est solution de l'équation différentielle et satisfait la condition initiale.

Chute d'une sphère dans la glycérine

Intermédiaire

Une petite sphère de masse

m = 15 g = 1, 5 \times 1 0^{- 2} kg

est lâchée sans vitesse initiale dans un bain de glycérine. Elle est soumise à son poids et à une force de frottement fluide

f = k v

, avec

k = 6, 0 \times 1 0^{- 2} kg.s^{- 1}

. On prend

g = 9, 8 m.s^{- 2}

et un axe vertical descendant.

Deux forces seulement ici — la poussée d'Archimède est négligée — et l'axe est orienté vers le bas, ce qui fixe les signes.

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par

v (t)

. 2) Déterminer la vitesse limite

v_{l im}

et le temps caractéristique

τ

. 3) Vérifier que

v (t) = v_{l im} (1 - e^{- t / τ})

est solution de l'équation différentielle et satisfait la condition initiale. 4) Calculer la vitesse de la sphère à l'instant

t = 0, 50 s

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

Avec l'axe orienté vers le bas, le poids est positif et le frottement négatif : $m\dfrac{dv}{dt} = m\,g - k\,v$.

2 الإرشاد 2

Vérifier la solution proposée consiste à la dériver, à la reporter dans l'équation, et à contrôler qu'elle s'annule bien à $t = 0$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Avec l'axe orienté vers le bas, le poids est positif et le frottement négatif : $m \frac{d v}{d t} = m g - k v$ .

Vérifier la solution proposée consiste à la dériver, à la reporter dans l'équation, et à contrôler qu'elle s'annule bien à $t = 0$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points