Décharge d'un condensateur : temps de demi-décharge et bilan énergétique

Un condensateur de capacité $C=10\mu \text{F}$ a été préalablement chargé sous une tension continue $E=12\text{V}$. À l'instant $t=0$, on le déconnecte du générateur et on le relie à un conducteur ohmique de résistance $R=5,0\text{k}\Omega$. On note $u_C(t)$ la tension aux bornes du condensateur et $i(t)$ l'intensité du courant de décharge.

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ et en déduire son expression en fonction du temps. 2) Calculer la constante de temps $\tau$ du dipôle RC. 3) On appelle temps de demi-décharge $t_{1/2}$ l'instant où la tension aux bornes du condensateur ne vaut plus que la moitié de sa valeur initiale. Établir l'expression littérale de $t_{1/2}$ en fonction de $\tau$, puis la calculer. Ce résultat dépend-il de la valeur de $E$ ? 4) Établir l'expression de l'intensité $i(t)$, calculer sa valeur maximale et préciser l'instant où elle est atteinte. Calculer également l'instant auquel $u_C=3,0\text{V}$. 5) Calculer l'énergie initialement emmagasinée par le condensateur, puis l'énergie totale dissipée par effet Joule dans le conducteur ohmique pendant toute la décharge. Justifier le raisonnement. 6) On souhaite obtenir une décharge cinq fois plus courte, avec ${\tau }^{\prime }=10\text{ms}$, sans changer le condensateur. Quelle résistance faut-il alors utiliser ?