Exercice de synthèse : charge d'un condensateur puis oscillations dans un circuit RLC

PARTIE 1 — Charge d'un condensateur. On charge un condensateur de capacité $C=2\mu F$, initialement déchargé, à travers un résistor de résistance $R=500\Omega$, sous une tension d'alimentation constante $E=5$ V.

1) Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur lors de la charge. 2) Vérifier que $u_C(t)=E(1-e^{-t/\tau })$ est solution de cette équation, où $\tau =RC$ est la constante de temps du dipôle. Calculer la valeur de $\tau$. 3) Calculer la valeur de $u_C$ à l'instant $t=\tau$. PARTIE 2 — Oscillations dans un circuit RLC. Une fois totalement chargé sous la tension $E$, le condensateur précédent est débranché du générateur puis rebranché en série avec une bobine d'inductance $L=0,1$ H, formant un nouveau circuit RLC de résistance totale $R^{\prime }=10\Omega$ (résistance de la bobine et du condensateur incluse). 4) Calculer la période propre $T_0=2\pi \sqrt{LC}$ de ce circuit. 5) En comparant $R^{\prime 2}$ à $\frac{4L}{C}$, déterminer si le régime des oscillations libres de ce circuit est pseudo-périodique ou apériodique. 6) Calculer l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur juste avant sa décharge dans la bobine (à l'instant où $u_C=E$).