Chaîne complète : modulation puis démodulation par détection d'enveloppe

Une chaîne de transmission AM comporte un modulateur (multiplieur) qui produit $u(t)=[U_0+s(t)]\cos (2\pi f_{p}t)$ à partir d'un signal modulant $s(t)=S_m\cos (2\pi f_{s}t)$, puis un démodulateur par détection d'enveloppe (diode redresseuse suivie d'un filtre passe-bas).

1. Réécrire $u(t)$ sous la forme $U_0[1+m\cos (2\pi f_{s}t)]\cos (2\pi f_{p}t)$ en exprimant $m$ en fonction de $S_m$ et $U_0$.

2. Expliquer le rôle de la diode dans le circuit de détection d'enveloppe.

3. Après la diode, le signal contient à la fois l'enveloppe recherchée (variant à la fréquence $f_s$) et des résidus à haute fréquence (autour de $f_p$). Un filtre passe-bas, de fréquence de coupure $f_{coupure}$, permet d'éliminer ces résidus. Si $f_p=800\text{ kHz}$ et $f_s=4,0\text{ kHz}$, proposer une valeur raisonnable de $f_{coupure}$ satisfaisant $f_s\ll f_{coupure}\ll f_p$, et justifier son ordre de grandeur.

4. Si la fréquence de coupure choisie était trop élevée (proche de $f_p$), quel problème apparaîtrait sur le signal démodulé restitué ? Si elle était trop basse (proche de $f_s$), quel autre problème apparaîtrait ?