Détermination de la largeur d'une fente par diffraction

Un faisceau laser rouge, de longueur d'onde dans le vide ${\lambda }_0=650\text{ nm}$, éclaire une fente fine verticale de largeur $a$ inconnue. On observe la figure de diffraction sur un écran placé à une distance $D=3,00\text{ m}$ de la fente. La tache centrale lumineuse observée sur l'écran a une largeur totale $\ell =3,9\text{ cm}$. On assimilera l'air au vide.

1. Rappeler la relation liant le demi-angle de diffraction $\theta$, la longueur d'onde ${\lambda }_0$ et la largeur $a$ de la fente.

2. Établir la relation donnant la largeur totale $\ell$ de la tache centrale en fonction de ${\lambda }_0$, $D$ et $a$.

3. En déduire la valeur de la largeur $a$ de la fente.

4. On remplace la fente par une fente deux fois plus étroite ($a^{\prime }=a/2$). Indiquer comment évolue la largeur de la tache centrale, puis calculer sa nouvelle valeur ${\ell }^{\prime }$.