Exploitation d'une bande passante mesurée pour caractériser un circuit

Difficile
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Énoncé

Lors d'une étude expérimentale d'un circuit RLC série de résistance connue , on relève sur la courbe une fréquence de résonance et une bande passante de largeur .
Courbe de résonance d'intensité d'un circuit RLC série avec sa bande passanteGraphique de l'intensité efficace du courant en fonction de la fréquence imposée par le générateur, pour un circuit RLC série. La courbe présente un maximum marqué d'un point rouge à la fréquence de résonance de cinq cents hertz, et décroît de part et d'autre. Une droite horizontale en pointillés est tracée à la hauteur du maximum divisé par racine de deux ; elle coupe la courbe en deux points verts dont l'écart en abscisse, mis en évidence par un segment vert épais, constitue la bande passante de cinquante hertz. Un encadré rappelle que la résistance vaut quinze ohms, que la fréquence de résonance et la bande passante ont été relevées sur cette courbe, et que l'inductance et la capacité restent à déterminer.Courbe de résonance : fréquence propre et bande passanteLa bande passante se lit à la hauteur I / √2, de part et d'autre du sommetN (Hz)I (A)N₀ = 500ImaxImax/√2ΔN = 50 HzDonnéesR = 15 Ω (connue)N₀ = 500 Hz (relevée)ΔN = 50 Hz (relevée)L et C : à déterminer
Les deux relevés de l'énoncé lus sur la courbe : le sommet donne N₀, l'écart à la hauteur I/√2 donne ΔN.
1) Calculer la largeur de bande passante en rad.s, puis en déduire l'inductance de la bobine. 2) Calculer le facteur de qualité du circuit, et vérifier sa cohérence par un second calcul. 3) En déduire la capacité du condensateur. 4) Le GBF est réglé à (donc au-delà de la résonance) : calculer l'impédance et le déphasage à cette fréquence, et préciser la nature du circuit.

إرشادات

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1 الإرشاد 1
La bande passante et le facteur de qualité sont liés par $Q = \dfrac{N_0}{\Delta N}$ : cette seule relation donne $Q$ sans connaître $L$ ni $C$.
2 الإرشاد 2
$Q = \dfrac{L\omega_0}{R}$ livre alors $L$, et la condition de résonance donne $C$. Au-delà de la résonance, la réactance inductive l'emporte : le circuit est inductif.

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La bande passante et le facteur de qualité sont liés par : cette seule relation donne sans connaître ni .

livre alors , et la condition de résonance donne . Au-delà de la résonance, la réactance inductive l'emporte : le circuit est inductif.

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