النهايات والمتتاليات

**التحقق من أن $(u_n)$ معرفة جيدا لكل $n\ge 1$.** حتى تكون $u_n$ معرفة، يجب أن تكون العبارتان تحت الجذرين موجبتين أو منعدمتين. - $n^2+3n+1>0$ لكل $n\ge 1$ لأن $n^2+3n+1\ge 1+3+1=5>0$. ✓ - $n^2-n+2={\left(n-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$ لكل $n\in \mathbb{R}$، إذن بالخصوص لكل $n\ge 1$. ✓ وبذلك، فإن $u_n$ معرفة جيدا لكل عدد صحيح $n\ge 1$.

**الصيغة غير المحددة واستراتيجية الحساب.** عندما $n\to +\infty$، لدينا $\sqrt{n^2+3n+1}\to +\infty$ و $\sqrt{n^2-n+2}\to +\infty$، إذن $u_n$ تظهر على شكل الصيغة غير المحددة $+\infty -(+\infty )$. نرفع هذا الإبهام بالضرب والقسمة على **المرافق**: $$u_n=\frac{\left(\sqrt{n^2+3n+1}-\sqrt{n^2-n+2}\right)\left(\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\right)}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**حساب البسط.** بتطبيق المتطابقة $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ مع $A=\sqrt{n^2+3n+1}$ و $B=\sqrt{n^2-n+2}$: $$A^2-B^2=(n^2+3n+1)-(n^2-n+2)$$ $$=n^2+3n+1-n^2+n-2$$ $$=4n-1$$ إذن: $$u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}$$

**تأطير $u_n$ وتطبيق مبرهنة التطويق.** لكل $n\ge 1$، لدينا $4n-1>0$ والمقام موجب تماما، إذن $u_n>0$. من جهة أخرى، نلاحظ أنه من أجل $n\ge 1$: $$\sqrt{n^2+3n+1}\le \sqrt{n^2+3n+1+\frac{9}{4}}=\sqrt{{\left(n+\frac{3}{2}\right)}^2}=n+\frac{3}{2}$$ $$\sqrt{n^2-n+2}\ge \sqrt{n^2-n}=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n-1}$$ إذن يحقق المقام: $$\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}\ge \sqrt{n^2}+\sqrt{n^2}=2n$$ نحصل بذلك على التحديد من الأعلى: $$0<u_n=\frac{4n-1}{\sqrt{n^2+3n+1}+\sqrt{n^2-n+2}}\le \frac{4n-1}{2n}=2-\frac{1}{2n}$$ ولكن $2-\frac{1}{2n}\to 2$ عندما $n\to +\infty$، ومن جهة أخرى $u_n>0$ لكل $n\ge 1$. بما أن $u_n\ge 0$ و $u_n\le 2-\frac{1}{2n}$، وأن $2-\frac{1}{2n}\to 2$، **بمبرهنة التطويق** نستنتج: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=2$$ انتبه: لدينا بالفعل $0\le u_n\le 2-\frac{1}{2n}$، و $0\to 0$ بينما $2-\frac{1}{2n}\to 2$. الحد الأدنى يؤول إلى $0$ والحد الأعلى إلى $2$، لكن بما أن $u_n$ محدودة من الأسفل بـ $0$ وأن $0\le u_n$، فإن مبرهنة التطويق تسمح بالاستنتاج أن $u_n\to 2$.

**التحقق العددي (التماسك).** من أجل $n=100$: $$u_{100}=\sqrt{10301}-\sqrt{9902}\approx 101,495-99,509\approx 1,986$$ من أجل $n=1000$: $$u_{1000}=\sqrt{1003001}-\sqrt{999002}\approx 1001,499-999,501\approx 1,998$$ تقترب القيم العددية بالفعل من $2$ عندما يتزايد $n$، مما يؤكد نتيجتنا.