½ Fractions et opérations
Simplification
(a×k)/(b×k) = a/b Ex : 36/48 = 3/4 (÷12)
Multiplication / Division
a/b × c/d = ac/bd | a/b ÷ c/d = a/b × d/c
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Ne pas simplifier avant de multiplier = fractions énormes
xⁿ Puissances
Produit
a<sup>m</sup> × aⁿ = a<sup>m</sup>⁺ⁿ Ex : 2³ × 2⁴ = 2⁷
Quotient
a<sup>m</sup> ÷ aⁿ = a<sup>m</sup>⁻ⁿ Ex : 3⁵ ÷ 3² = 3³
Puissance de puissance
(a<sup>m</sup>)ⁿ = a<sup>m</sup>ⁿ Ex : (2³)⁴ = 2¹²
Puissance zéro
a⁰ = 1 (a ≠ 0) Ex : 7⁰ = 1
Puissance négative
a⁻ⁿ = 1/aⁿ Ex : 2⁻³ = 1/8
Notation scientifique
a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 Ex : 0,0034 = 3,4 × 10⁻³
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ (-2)⁴ = 16 mais -2⁴ = -16 (attention aux parenthèses)
- ✗ a<sup>m</sup> × b<sup>m</sup> = (ab)<sup>m</sup> mais a<sup>m</sup> + b<sup>m</sup> ≠ (a+b)<sup>m</sup>
⚖️ Équations du 1er degré
Résoudre ax + b = 0
x = −b/a (a ≠ 0)
Méthode
Isoler x : effectuer les mêmes opérations des deux côtés
Inéquation
Si on multiplie/divise par un négatif → on inverse le sens de l'inégalité
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ −x > 5 → x < −5 (inversion car on multiplie par −1)
- ✗ Toujours vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation
△ Théorème de Pythagore
Théorème
Dans un triangle rectangle : BC² = AB² + AC² Ex : Si AB=3, AC=4 → BC=5
Réciproque
Si BC² = AB² + AC² → triangle rectangle en A
Trouver un côté
AB = √(BC² − AC²) Ex : BC=13, AC=5 → AB = √(169−25) = 12
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ L'hypoténuse est TOUJOURS le côté opposé à l'angle droit (le plus grand)
- ✗ Réciproque : vérifier que le plus grand côté est à gauche du =
∠ Introduction à la trigonométrie
cos(α)
côté adjacent / hypoténuse
sin(α)
côté opposé / hypoténuse
tan(α)
côté opposé / côté adjacent = sin(α)/cos(α)
Mnémotechnique
SOH-CAH-TOA (Sin=Opp/Hyp, Cos=Adj/Hyp, Tan=Opp/Adj)
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ sin et cos valent toujours entre −1 et 1
- ✗ cos²(α) + sin²(α) = 1 (relation fondamentale)
√ Racines carrées
Définition
√a ≥ 0 et (√a)² = a pour a ≥ 0
Produit
√(a×b) = √a × √b Ex : √75 = √(25×3) = 5√3
Quotient
√(a/b) = √a / √b (b > 0) Ex : √(16/9) = 4/3
Simplification
k√a ± m√a = (k±m)√a Ex : 4√5 − √5 = 3√5
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ √(a+b) ≠ √a + √b — erreur très fréquente !
- ✗ √(x²) = |x|, pas x (si x peut être négatif)
💡 Simplifier √n : chercher le plus grand carré parfait divisant n
(a+b)² Identités remarquables
(a + b)²
(a + b)² = a² + 2ab + b² Ex : (x+4)² = x²+8x+16
(a − b)²
(a − b)² = a² − 2ab + b² Ex : (3x−2)² = 9x²−12x+4
Différence de carrés
(a+b)(a−b) = a² − b² Ex : (x+7)(x−7) = x²−49
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ (a+b)² ≠ a²+b² — le terme 2ab manque souvent !
- ✗ Développer puis simplifier avant de factoriser — ne pas sauter d'étape
⚖️ Systèmes d'équations
Substitution
Exprimer x en fonction de y (ou l'inverse) puis substituer dans l'autre équation
Combinaison (addition)
Multiplier une ou deux équations pour éliminer une inconnue Ex : {3x+y=7 et x−y=1 → ajouter → 4x=8 → x=2}
Vérification
Remplacer (x,y) dans les DEUX équations d'origine
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Toujours vérifier la solution dans les deux équations
- ✗ Si 0 = 0 apparaît : infinité de solutions — si 0 = k≠0 : pas de solution
≃ Théorème de Thalès
Énoncé
Si (DE) ∥ (BC) et A∉(BC) alors : AD/AB = AE/AC = DE/BC
Réciproque
Si AD/AB = AE/AC → (DE) ∥ (BC)
Application
Calculer une longueur inconnue grâce au rapport constant
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Vérifier l'ordre des points dans les rapports (AD/AB ≠ DA/AB)
- ✗ La droite parallèle coupe les DEUX côtés du triangle (ou leurs prolongements)
💡 Produit en croix : AD/AB = AE/AC → AD × AC = AE × AB
📍 Repérage dans le plan
Milieu de [AB]
I = ((x<sub>a</sub>+x_B)/2 ; (y<sub>a</sub>+y_B)/2)
Distance AB
AB = √((x_B−x<sub>a</sub>)² + (y_B−y<sub>a</sub>)²)
Équation de droite
y = ax + b (a = pente, b = ordonnée à l'origine)
Pente (coefficient directeur)
a = (y_B − y<sub>a</sub>) / (x_B − x<sub>a</sub>) Ex : A(1;2) B(3;6) → a=(6−2)/(3−1)=2
Droites parallèles / perpendiculaires
Parallèles : a₁ = a₂ · Perpendiculaires : a₁ × a₂ = −1
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ Ne pas confondre pente et ordonnée à l'origine
- ✗ Deux droites parallèles ont la même pente mais des ordonnées différentes
→ Vecteurs dans le plan
Coordonnées
AB<sup>→</sup> = (x_B − x<sub>a</sub> ; y_B − y<sub>a</sub>) Ex : A(1;2) B(4;6) → AB<sup>→</sup>=(3;4)
Norme (longueur)
|AB<sup>→</sup>| = √(Δx² + Δy²) Ex : |AB<sup>→</sup>| = √(9+16) = 5
Addition de vecteurs
u<sup>→</sup>(x₁;y₁) + v<sup>→</sup>(x₂;y₂) = (x₁+x₂ ; y₁+y₂)
Colinéarité
u<sup>→</sup>(a;b) et v<sup>→</sup>(c;d) colinéaires ⇔ ad − bc = 0
⚠️ Pièges à éviter
- ✗ AB<sup>→</sup> ≠ BA<sup>→</sup> (le sens compte !). AB<sup>→</sup> = −BA<sup>→</sup>
- ✗ k×u<sup>→</sup> = (ka ; kb) — multiplier CHAQUE composante
💡 Relation de Chasles : AB<sup>→</sup> + BC<sup>→</sup> = AC<sup>→</sup>
Fiche créée par Riyaddiyat · Plateforme de maths pour les élèves marocains