Suite de Fibonacci et PGCD

La suite de Fibonacci $(F_n)$ est définie par $F_1=F_2=1$ et $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ pour $n\ge 2$.

1. Montrer que $F_m|F_{mn}$ pour tous entiers $m,n\ge 1$.
2. Démontrer que $\gcd (F_m,F_n)=F_{\gcd (m,n)}$.
3. En déduire que si $p$ est premier, alors $F_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ ou $F_p\equiv -1(\mathrm{mod}p)$.