Représentation en base et somme des chiffres

Pour tout entier $n\ge 1$, notons $S(n)$ la somme des chiffres de $n$ en base 10.

1. Montrer que $n\equiv S(n)(\mathrm{mod}9)$ pour tout $n$.
2. Trouver tous les entiers $n$ tels que $S(n)=S(2n)$.
3. Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $S(n^2)=S(n{)}^2$.