Démonstration par l'absurde — √2 irrationnel

1. Supposons par l'absurde que √2 = p/q avec p,q entiers, q ≠ 0, et la fraction irréductible (PGCD(p,q)=1).
Alors 2 = p²/q² → p² = 2q² → p² est pair → p est pair (car p² pair ⇒ p pair). Écrivons p = 2k.
Alors (2k)² = 2q² → 4k² = 2q² → q² = 2k² → q² est pair → q est pair.
Donc p et q sont tous deux pairs, contradict PGCD(p,q)=1. ✗ → √2 est irrationnel. ✓

2. Même raisonnement avec 3 : si √3 = p/q irréductible, alors p² = 3q² → 3|p → p=3k → q² = 3k² → 3|q → contradiction. ✓

3. Si log₁₀(2) = p/q, alors 10^(p/q) = 2 → 10^p = 2^q → (2×5)^p = 2^q → 2^p × 5^p = 2^q.
Si p > q : 5^p = 2^(q−p) — impossible (gauche impair, droite pair). Similairement si p < q ou p=q → contradiction dans tous les cas. ✓