الحسابيات في باكالوريا العلوم الرياضية: دليل شامل (التطابقات، بيزو، غاوس)

نظرة عامة على الفصل

تمثل الحسابيات 10 إلى 15 % من الامتحان الوطني باكالوريا العلوم الرياضية. الفصل منظم جدا: 5 أدوات رئيسية تتكامل فيما بينها. إذا أتقنتها جميعا، ستحصل على 4-5 نقاط بسهولة.

I. القابلية للقسمة والقسمة الإقليدية

تعريف القابلية للقسمة

ليكن $a,b\in \mathbb{Z}$ حيث $b\ne 0$. نقول إن $b$ يقسم $a$ (يرمز له $b\mid a$) إذا وجد $k\in \mathbb{Z}$ بحيث $a=kb$.

القسمة الإقليدية

من أجل $a\in \mathbb{Z}$، $b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$، يوجد زوج وحيد $(q,r)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ بحيث:

$$a=bq+r\text{avec}0\le r<b$$

$q$ = خارج القسمة، $r$ = الباقي. الوحدانية أساسية: هي ما يجعل الحسابات النمطية دقيقة.

II. التطابقات modulo $n$

التعريف

$a\equiv b[n]$ يعني أن $n\mid a-b$، أو بشكل مكافئ أن $a$ و $b$ لهما نفس الباقي في القسمة الإقليدية على $n$.

الخصائص

إذا كان $a\equiv b[n]$ و $c\equiv d[n]$، فإن:

• $a+c\equiv b+d[n]$
• $a\cdot c\equiv b\cdot d[n]$
• من أجل كل $k\in \mathbb{N}$ : $a^k\equiv b^k[n]$

حيلة أساسية: لإثبات أن خاصية صحيحة لكل $n$، نعالج الحالات حسب بواقي $n$ modulo عدد صغير.

مثال محلول (كلاسيكي جدا)

المعطى: برهن أنه من أجل كل $n\in \mathbb{N}$، $n^3+2n$ يقبل القسمة على 3.

الحل: نشتغل modulo 3. ثلاث حالات حسب $n\mathrm{mod}3$ :

• إذا كان $n\equiv 0[3]$ : $n^3+2n\equiv 0+0=0[3]$. ✓

• إذا كان $n\equiv 1[3]$ : $n^3+2n\equiv 1+2=3\equiv 0[3]$. ✓

• إذا كان $n\equiv 2[3]$ : $n^3+2n\equiv 8+4=12\equiv 0[3]$. ✓

في جميع الحالات، $3\mid n^3+2n$. $■$

III. القاسم المشترك الأكبر وخوارزمية إقليدس

خوارزمية إقليدس القياسية

$\text{pgcd}(a,b)=\text{pgcd}(b,r)$ حيث $r$ هو باقي قسمة $a$ على $b$. نكرر حتى نحصل على باقي معدوم.

مثال: $\text{pgcd}(252,105)$

$252=2\times 105+42$ ← $\text{pgcd}(252,105)=\text{pgcd}(105,42)$

$105=2\times 42+21$ ← $\text{pgcd}(105,42)=\text{pgcd}(42,21)$

$42=2\times 21+0$ ← $\text{pgcd}(42,21)=21$

إذن $\text{pgcd}(252,105)=21$.

خوارزمية إقليدس الموسعة (من أجل بيزو)

نصعد في المعادلات للتعبير عن القاسم المشترك الأكبر على شكل $au+bv$.

IV. مبرهنة بيزو

الصيغة

ليكن $a,b\in \mathbb{Z}$ غير معدومين. $\text{pgcd}(a,b)=d$ إذا وفقط إذا وجد $u,v\in \mathbb{Z}$ بحيث $au+bv=d$.

بشكل خاص، $a$ و $b$ أوليان فيما بينهما ⇔ ∃ $u,v$ : $au+bv=1$.

البرهان (الاتجاه المباشر، يجب معرفته في الباكالوريا)

لتكن $E=\{au+bv\mid u,v\in \mathbb{Z},au+bv>0\}$. هذه المجموعة غير فارغة (مثلا: نأخذ $u,v$ للحصول على $|a|$). إذن تحتوي على أصغر عنصر $d_0=a{u}_0+b{v}_0$.

بالقسمة الإقليدية: $a=d_{0}q+r$ حيث $0\le r<d_0$. إذن $r=a-d_{0}q=a(1-u_{0}q)+b(-v_{0}q)\in E\cup \{0\}$. إذا كان $r>0$، يناقض صغرية $d_0$. إذن $r=0$، ومنه $d_0\mid a$. بالتماثل $d_0\mid b$.

بالعكس، $d=\text{pgcd}(a,b)$ يقسم كل توليفة $au+bv$، إذن $d\mid d_0$. و $d_0\mid a,b$ إذن $d_0\mid d$. الخلاصة: $d_0=d$. $■$

V. مبرهنة غاوس

الصيغة

إذا كان $a\mid bc$ و $\text{pgcd}(a,b)=1$، فإن $a\mid c$.

البرهان (سطر واحد باستعمال بيزو)

بما أن $\text{pgcd}(a,b)=1$، يوجد $u,v\in \mathbb{Z}$ بحيث $au+bv=1$. نضرب في $c$ : $acu+bcv=c$. لكن $a\mid acu$ (بديهي) و $a\mid bcv$ (بالفرضية $a\mid bc$). إذن $a\mid acu+bcv=c$. $■$

تطبيق نموذجي

المعطى: ليكن $n\in \mathbb{N}$ بحيث $7\mid 5n$. بين أن $7\mid n$.

الحل: بما أن $\text{pgcd}(7,5)=1$ (7 أولي، 5 < 7)، بمبرهنة غاوس، $7 \mid n$. $\blacksquare$

VI. المعادلات الديوفنتية $ax+by=c$

معادلة ديوفنتية $ax+by=c$ (حيث $a,b,c\in \mathbb{Z}$ و $a,b$ غير معدومين) تقبل حلولا إذا وفقط إذا كان $\text{pgcd}(a,b)\mid c$.

طريقة الحل

1. حساب $d=\text{pgcd}(a,b)$.
2. التحقق من أن $d\mid c$ (وإلا لا يوجد حل).
3. إيجاد حل خاص $(x_0,y_0)$ عبر خوارزمية إقليدس الموسعة.
4. الحل العام هو:

$x=x_0+k\frac{b}{d},y=y_0-k\frac{a}{d},k\in \mathbb{Z}$

مثال محلول

المعطى: حل $5x+3y=1$ في ${\mathbb{Z}}^2$.

$\text{pgcd}(5,3)=1$ إذن توجد حلول.

حل خاص: $x_0=2,y_0=-3$ (تحقق: $10-9=1$ ✓).

الحل العام: $x=2+3k,y=-3-5k$ من أجل $k\in \mathbb{Z}$.

VII. مبرهنة فيرما الصغرى (خارج البرنامج الصارم لكنها مفيدة)

إذا كان $p$ أوليا و $\text{pgcd}(a,p)=1$، فإن $a^{p-1}\equiv 1[p]$.

VIII. استراتيجية الامتحان

1. قراءة المعطى كاملا: تحديد ما إذا كان المطلوب قاسم مشترك أكبر، تطابق، بيزو، غاوس، ديوفنتية.
2. البدء بـ"السؤال 1" الذي يضع الأسس (غالبا حساب قاسم مشترك أكبر أو تطابق أولي).
3. عندما يطلب "بين أن ... يقسم ..." : فكر في التطابقات أو غاوس.
4. عندما يطلب "حل في ${\mathbb{Z}}^2$" : ديوفنتية، إذن خوارزمية موسعة.
5. عندما يذكر "أوليان فيما بينهما" : بيزو.

IX. الأخطاء الكلاسيكية

• الخلط بين القابلية للقسمة والتطابق.
• تطبيق غاوس دون التحقق من أن $\text{pgcd}(a,b)=1$.
• الاعتقاد أن $\text{pgcd}(0,b)=0$ (إنه $|b|$).
• نسيان التحقق من أن $d\mid c$ في معادلة ديوفنتية.
• كتابة الحل العام بشكل خاطئ (عكس الإشارات أو نسيان الكسر).

انظر أيضا: طريقة الحسابيات.