المركز الثقلي: التعريف، الطريقة، أمثلة

التعريف

ليكن جملة موزونة ${(A_{1}, α_{1}), (A_{2}, α_{2}), \dots, (A_{n}, α_{n})}$ بحيث $\sum α_{i} \neq = 0$ . المركز الثقلي $G$ هو النقطة الوحيدة التي تحقق:

$i = 1 \sum n α_{i} G A_{i} = 0$

إحداثيات المركز الثقلي

إذا كان $G$ هو المركز الثقلي للجملة ${(A_{i}, α_{i})}$ ونرمز $S = \sum α_{i}$ :

$O G = \frac{1}{S} i = 1 \sum n α_{i} O A_{i}$

بالنسبة لمعلم معين، إحداثيات $G$ هي المتوسط الموزون لإحداثيات النقط $A_{i}$ .

حالة خاصة: المركز الثقلي المتساوي

عندما تكون جميع المعاملات متساوية (غالبا تساوي $1$ ): $G$ هو المركز الثقلي المتساوي.

نقطتان: منتصف $[A_{1} A_{2}]$ .
3 نقط (مثلث): مركز الثقل.

مبرهنة التجميع (مفيدة جدا في الباكالوريا)

إذا كان $G$ هو المركز الثقلي للجملة ${(A, α), (B, β), (C, γ)}$ وكان $H$ هو المركز الثقلي الجزئي للجملة ${(A, α), (B, β)}$ ، فإن:

$G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$

تطبيق: نعوض جملة جزئية بمركزها الثقلي، مما يبسط التمارين في أغلب الأحيان.

مثال محلول

ليكن $A B C$ مثلثا. أوجد $G$ ، المركز الثقلي للجملة ${(A, 2), (B, 1), (C, 1)}$ .

الطريقة 1 — التجميع.

ليكن $I$ المركز الثقلي للجملة ${(B, 1), (C, 1)}$ : إنه منتصف $[B C]$ .

إذن $G$ هو المركز الثقلي للجملة ${(A, 2), (I, 2)}$ : إنه منتصف $[A I]$ .

الطريقة 2 — الصيغة المباشرة.

$A G = \frac{1 \cdot A B + 1 \cdot A C}{2 + 1 + 1} = \frac{A B + A C}{4}$ .

خاصيات أساسية

ضرب المعاملات في $k \neq = 0$ : لا يغير المركز الثقلي.
انتقال المعاملات : من أجل أي نقطة $M$ ، $\sum α_{i} M A_{i} = (\sum α_{i}) M G$ .

تطبيق: المجموعات الهندسية

العديد من التمارين تطلب إيجاد مجموعة نقط تُعبَّر عنها عبر مركز ثقلي. نصيحة: حلل الشرط لإظهار مركز ثقلي ثابت، ثم استنتج الوضع النسبي.

أخطاء شائعة

نسيان شرط $\sum α_{i} \neq = 0$ (وإلا فالمركز الثقلي غير موجود، لكن يوجد متجهة ثابتة).
عكس المعاملات عند تطبيق التجميع.
الخلط بين المركز الثقلي والمركز الثقلي المتساوي.

المزيد من التمارين: درس المركز الثقلي أولى باكالوريا علوم رياضية.