Barycentre : définition, méthode, exemples

Définition

Soit un système pondéré ${(A_{1}, α_{1}), (A_{2}, α_{2}), \dots, (A_{n}, α_{n})}$ avec $\sum α_{i} \neq = 0$ . Le barycentre $G$ est l'unique point tel que :

$i = 1 \sum n α_{i} G A_{i} = 0$

Coordonnées du barycentre

Si $G$ est le barycentre de ${(A_{i}, α_{i})}$ et qu'on note $S = \sum α_{i}$ :

$O G = \frac{1}{S} i = 1 \sum n α_{i} O A_{i}$

Pour un repère donné, les coordonnées de $G$ sont la moyenne pondérée des coordonnées des $A_{i}$ .

Cas particulier : isobarycentre

Quand tous les coefficients sont égaux (souvent à $1$ ) : $G$ est l'isobarycentre.

2 points : milieu de $[A_{1} A_{2}]$ .
3 points (triangle) : centre de gravité.

Théorème d'associativité (très utile au bac)

Si $G$ est le barycentre de ${(A, α), (B, β), (C, γ)}$ et si $H$ est le barycentre partiel de ${(A, α), (B, β)}$ , alors :

$G = bar {(H, α + β), (C, γ)}$

Application : on remplace un sous-système par son barycentre, ce qui simplifie souvent les exercices.

Exemple résolu

Soit $A B C$ un triangle. Trouver $G$ , barycentre de ${(A, 2), (B, 1), (C, 1)}$ .

Méthode 1 — Associativité.

Soit $I$ le barycentre de ${(B, 1), (C, 1)}$ : c'est le milieu de $[B C]$ .

Donc $G$ est le barycentre de ${(A, 2), (I, 2)}$ : c'est le milieu de $[A I]$ .

Méthode 2 — Formule directe.

$A G = \frac{1 \cdot A B + 1 \cdot A C}{2 + 1 + 1} = \frac{A B + A C}{4}$ .

Propriétés clés

Multiplication des coefficients par $k \neq = 0$ : ne change pas le barycentre.
Translation des coefficients : pour tout point $M$ , $\sum α_{i} M A_{i} = (\sum α_{i}) M G$ .

Application : lieux géométriques

Beaucoup d'exercices demandent de trouver un lieu de points qui s'exprime via un barycentre. Astuce : décomposer la condition pour faire apparaître un barycentre fixe, puis raisonner sur la position relative.

Pièges

Oublier la condition $\sum α_{i} \neq = 0$ (sinon le barycentre n'existe pas, mais il y a un vecteur constant).
Inverser les coefficients lors de l'application de l'associativité.
Confondre barycentre et isobarycentre.

Plus d'exercices : chapitre barycentre 1BAC SM.