Nombres complexes : formes algébrique, trigonométrique, exponentielle

Les 3 formes d'un nombre complexe

• Forme algébrique : $z=a+ib$ avec $a,b\in \mathbb{R}$. $a$ = partie réelle, $b$ = partie imaginaire.
• Forme trigonométrique : $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ avec $r=|z|$ et $\theta =\arg (z)$.
• Forme exponentielle : $z=r{e}^{i\theta }$. Compacte et élégante.

Module et argument

Pour $z=a+ib$ :

• $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
• $\arg (z)=\theta$ tel que $\cos \theta =\frac{a}{|z|}$ et $\sin \theta =\frac{b}{|z|}$.

Passages entre formes

Algébrique → trigo : calcule $|z|$, déduis $\theta$ via $\cos$ et $\sin$.

Trigo → algébrique : $a=r\cos \theta$, $b=r\sin \theta$.

Exponentielle ↔ trigo : $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ (formule d'Euler).

Exemple

Soit $z=1+i$.

• $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.
• $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$ et $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}$, donc $\theta =\frac{\pi }{4}$.
• Forme trigo : $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.
• Forme exponentielle : $z=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$.

Opérations en forme exponentielle

• Produit : $r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$.
• Quotient : $\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$.
• Puissance (Moivre) : $(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$.

Conjugué et inverse

• $\overline{a+ib}=a-ib$, $\overline{r{e}^{i\theta }}=r{e}^{-i\theta }$.
• $z\cdot \overline{z}=|z{|}^2$.
• $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$.

Erreurs classiques

• Confondre $\overline{z}$ et $-z$. Le conjugué change le signe de la partie imaginaire seulement.
• Oublier que $\arg (z)$ est défini modulo $2\pi$.
• Mal placer $z$ dans le plan : si la partie réelle est négative, l'argument est dans $]\pi /2,\pi ]$ ou $]-\pi ,-\pi /2[$.

Pour pratiquer : chapitre nombres complexes du 2BAC SM.