Géométrie complexe : rotations et similitudes

Affixe d'un point

Chaque point $M(a,b)$ du plan a un affixe $z_M=a+ib$. Inversement, à tout $z\in \mathbb{C}$ correspond un point unique.

Distances et angles

• $AB=|z_B-z_A|$ : distance entre deux points.
• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg \left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)[\text{mod }2\pi ]$ : angle orienté.

Rotation

Rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$) et d'angle $\theta$ : un point $M$ d'affixe $z$ a pour image $M^{\prime }$ d'affixe $z^{\prime }$ tel que :

$z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$

En particulier, rotation de centre $O$ : $z^{\prime }=e^{i\theta }z$.

Exemple

Rotation de centre $O$ et d'angle $\pi /2$. Image de $M$ d'affixe $z=2+i$ :

$z^{\prime }=e^{i\pi /2}\cdot z=i\cdot (2+i)=2i+i^2=-1+2i$. Donc $M^{\prime }(-1,2)$.

Similitude directe

Similitude directe de centre $\Omega$, de rapport $k>0$ et d'angle $\theta$ :

$z^{\prime }-\omega =k{e}^{i\theta }(z-\omega )$

Écriture compacte : $z^{\prime }=az+b$ avec $a=k{e}^{i\theta }$ et $b$ déterminé par le point fixe.

Alignement et orthogonalité

• $A,B,C$ alignés ⇔ $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$.
• $(AB)\perp (CD)$ ⇔ $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}$ (imaginaire pur).

Lieux géométriques classiques

• $|z-z_A|=r$ : cercle de centre $A$, rayon $r$.
• $|z-z_A|=|z-z_B|$ : médiatrice de $[AB]$.
• $\arg (z-z_A)=\theta$ : demi-droite issue de $A$, direction $\theta$.

Pièges

• Oublier l'orientation : une rotation de $+\pi /2$ et de $-\pi /2$ donnent des images différentes.
• Confondre similitude directe et indirecte (la directe préserve l'orientation, l'indirecte la renverse).
• Mal écrire l'argument du quotient : $\arg (z_2/z_1)=\arg (z_2)-\arg (z_1)$, pas l'inverse.

Plus d'exercices : chapitre nombres complexes 2BAC SM.