Étude complète d'une fonction : méthode pas à pas

Les 7 étapes d'une étude complète

Domaine de définition $D_{f}$ .
Parité, périodicité, symétries (si pertinent).
Limites aux bornes de $D_{f}$ .
Dérivée $f^{'} (x)$ et son signe.
Tableau de variation.
Asymptotes et branches infinies.
Tracé de la courbe $(C_{f})$ .

Étape 1 — Domaine

Identifie les contraintes : dénominateurs non nuls, expressions sous racine $\geq 0$ , expressions dans $ln$ strictement positives.

Exemple. $f (x) = \frac{ln ( x - 1 )}{x - 3}$ : il faut $x - 1 > 0$ et $x - 3 \neq = 0$ , donc $D_{f} =] 1, 3 [\cup] 3, + \infty [$ .

Étape 2 — Symétries

Si $f (- x) = f (x)$ et $D_{f}$ symétrique : paire (symétrie d'axe Oy).
Si $f (- x) = - f (x)$ et $D_{f}$ symétrique : impaire (symétrie de centre O).
Si $f (x + T) = f (x)$ : périodique de période $T$ (utile pour les fonctions trigo).

Étape 3 — Limites

Calcule les limites aux bornes ouvertes de $D_{f}$ . Pour les formes indéterminées, utilise les croissances comparées et les limites usuelles (voir la fiche limites).

Étape 4 — Dérivée et signe

Calcule $f^{'} (x)$ avec les règles de dérivation (voir fiche dérivées). Étudie le signe de $f^{'} (x)$ : facteur par facteur, ou par étude du signe d'un trinôme.

Étape 5 — Tableau de variation

Le tableau résume tout : valeurs aux bornes, signe de $f^{'}$ , sens de variation de $f$ , extremums locaux. C'est la pièce maîtresse, le correcteur le cherche en premier.

Étape 6 — Asymptotes

Asymptote horizontale $y = L$ si $x \to \pm \infty lim f (x) = L$ .
Asymptote verticale $x = a$ si $x \to a lim f (x) = \pm \infty$ .
Asymptote oblique $y = a x + b$ : calculer $a = lim \frac{f ( x )}{x}$ puis $b = lim (f (x) - a x)$ .

Étape 7 — Tracé

Place les asymptotes en pointillés, les points remarquables (extremums, intersections avec les axes), puis trace la courbe en respectant les variations.

L'erreur fatale à éviter

Ne jamais oublier de mentionner $D_{f}$ dans le tableau de variation. Si $f$ n'est pas définie en $a$ , mets une double barre verticale et écris « $a$ exclu ».

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