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Limites usuelles — fiche mémo

Les limites les plus rencontrées au bac. Mémorise particulièrement les croissances comparées et les limites en $0$.

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Limites aux infinis

$x \to + \infty lim x^{n}$	= $+ \infty$	$n \geq 1$
$x \to + \infty lim \frac{1}{x ^{n}}$	= $0$
$x \to + \infty lim e^{x}$	= $+ \infty$
$x \to - \infty lim e^{x}$	= $0$
$x \to + \infty lim ln x$	= $+ \infty$
$x \to 0^{+} lim ln x$	= $- \infty$

Croissances comparées (TRÈS important)

$x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{n}}$	= $+ \infty$	exp gagne sur les puissances
$x \to + \infty lim \frac{ln x}{x ^{n}}$	= $0$	puissances gagnent sur ln
$x \to 0^{+} lim x^{n} ln x$	= $0$	$n > 0$
$x \to - \infty lim x^{n} e^{x}$	= $0$

Limites notables en 0

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x}$	= $1$
$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}$	= $\frac{1}{2}$
$x \to 0 lim \frac{tan x}{x}$	= $1$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x}$	= $1$
$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x}$	= $1$

Formes indéterminées

$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$	factoriser, simplifier, ou utiliser un développement
$0 \times \infty, \infty - \infty$	transformer en quotient
$1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}$	utiliser $ln$ puis $exp$

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