Comment calculer une limite : toutes les méthodes

Étape 0 — Substitution directe

Toujours essayer en premier : remplace $x$ par sa valeur cible. Si tu obtiens un nombre fini ou $\pm \infty$, c'est la limite. Sinon (forme indéterminée), passe aux techniques suivantes.

Les 7 formes indéterminées

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\times \infty ,\infty -\infty ,1^{\infty },0^0,{\infty }^0$

Technique 1 — Factorisation

Cas $\frac{0}{0}$ avec polynômes : factorise par $(x-a)$ au numérateur et au dénominateur, puis simplifie.

Exemple : $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$.

Technique 2 — Conjugué

Pour les racines en $\frac{0}{0}$ : multiplie par l'expression conjuguée.

Exemple : $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2}$.

Technique 3 — Croissances comparées

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$. Voir la fiche limites pour toutes les valeurs.

Technique 4 — Limites notables

À connaître par cœur :

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$
• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$

Technique 5 — Théorème d'encadrement (gendarmes)

Si $g(x)\le f(x)\le h(x)$ et $\lim g=\lim h=L$, alors $\lim f=L$. Utile pour les expressions oscillantes type $\sin (x)/x^2$.

Technique 6 — Définition de la dérivée

Si tu vois $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ avec $x\to a$, c'est $f^{\prime }(a)$ par définition.

Cas particulier : $\infty -\infty$

Mets en facteur le terme dominant.

Exemple : $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sqrt{x^2+1})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-(x^2+1)}{x+\sqrt{x^2+1}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}=0$.

Tu veux plus d'exemples ?

Va sur le chapitre limites et continuité du 2BAC sur Atlasmaths.