Intégration par parties (IPP) : méthode 2BAC

La formule

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{u}^{\prime }(x)\cdot v(x)dx=[u(x)\cdot v(x){]}_a^b-\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(x)\cdot v^{\prime }(x)dx$

La règle d'or : qui dérive, qui s'intègre ?

Astuce LIATE (ordre de priorité pour choisir $v$, à dériver) :

1. Logarithme ($\ln$)
2. Inverse trigo ($\arctan$, etc.)
3. Algébrique ($x^n$)
4. Trigonométrique ($\sin$, $\cos$)
5. Exponentielle ($e^x$)

Le terme qui apparaît en premier dans LIATE = $v$ (à dériver). L'autre = $u^{\prime }$ (à intégrer).

Exemple 1 — $\int x{e}^{x}dx$

LIATE : $x$ (algébrique) avant $e^x$ (exp). Donc $v=x$ et $u^{\prime }=e^x$.

Alors $v^{\prime }=1$ et $u=e^x$.

$\int x{e}^{x}dx=x\cdot e^x-\int 1\cdot e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$.

Exemple 2 — $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)dx$

Astuce : écris $\ln (x)=1\cdot \ln (x)$. Avec LIATE : $v=\ln (x)$ et $u^{\prime }=1$.

Alors $v^{\prime }=1/x$ et $u=x$.

$\underset{1}{\overset{e}{\int }}\ln (x)dx=[x\ln (x){]}_1^e-\underset{1}{\overset{e}{\int }}x\cdot \frac{1}{x}dx=(e\cdot 1-0)-(e-1)=1$.

Quand faire IPP plusieurs fois ?

Si après une IPP tu obtiens encore un produit $\int x^k\cdot e^x$ ou $\int x^k\cdot \sin x$, refais l'IPP. Tu diminues à chaque fois le degré de $x^k$ jusqu'à arriver à $\int e^x=e^x+C$.

Astuce avancée : "IPP cyclique"

Pour $\int e^x\sin (x)dx$ et similaires, après 2 IPP, tu retombes sur l'intégrale initiale. Tu poses $I=\int e^x\sin (x)dx$, tu fais $2$ IPP, tu obtiens $I=f(x)-I$, d'où $I=f(x)/2$.

Pièges

• Mal choisir $v$ et $u^{\prime }$ : si après IPP l'intégrale est plus compliquée, c'est que tu as inversé. Recommence.
• Oublier le crochet $[uv{]}_a^b$ dans l'IPP définie.
• Confondre les signes : c'est moins $\int u{v}^{\prime }$, pas plus.

Plus d'exercices sur le chapitre intégrales 2BAC.