المعادلات التفاضلية الثانية باكالوريا: الطريقة + الأنواع

النوع 1 — خطية متجانسة: $y^{'} = a y$

الحل العام: $y (x) = C e^{a x}$ ، حيث $C$ ثابت حقيقي.

يُحدَّد الثابت $C$ إذا فُرض شرط ابتدائي $y (x_{0}) = y_{0}$ .

مثال. $y^{'} = 3 y$ مع $y (0) = 2$ . الحل العام هو $y (x) = C e^{3 x}$ . بما أن $y (0) = C = 2$ ، إذن $y (x) = 2 e^{3 x}$ .

الطريقة في مرحلتين:

أوجد حلاً خاصاً بديهياً. إذا كان $b$ ثابتاً، فإن $y_{p} = b / a$ يصلح (إذا كان $a \neq = 0$ ).
أضف الحل العام للمعادلة المتجانسة $y^{'} + a y = 0$ ، وهو $C e^{- a x}$ .

الحل النهائي: $y (x) = \frac{b}{a} + C e^{- a x}$ .

نُشكِّل المعادلة المميزة: $r^{2} + a r + b = 0$ ، ذات المميز $Δ = a^{2} - 4 b$ .

إذا كان $Δ > 0$ ، جذران $r_{1}, r_{2}$ : $y (x) = C_{1} e^{r_{1} x} + C_{2} e^{r_{2} x}$ .
إذا كان $Δ = 0$ ، جذر مضاعف $r_{0}$ : $y (x) = (C_{1} + C_{2} x) e^{r_{0} x}$ .
إذا كان $Δ < 0$ ، جذران عقديان $α \pm i β$ : $y (x) = e^{α x} (C_{1} cos (β x) + C_{2} sin (β x))$ .

حل المعادلة $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0$ .

المعادلة المميزة: $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ ، أي $(r - 2) (r - 3) = 0$ . الجذران: $r = 2, r = 3$ .

الحل العام: $y (x) = C_{1} e^{2 x} + C_{2} e^{3 x}$ .

نسيان الإشارة $-$ في أس $C e^{- a x}$ بالنسبة لـ $y^{'} + a y = 0$ . الإشارة تأتي من كون حل $y^{'} = - a y$ هو $C e^{- a x}$ .
حل المعادلة المميزة بشكل خاطئ. أعد التحليل كما تفعل مع ثلاثية الحدود الكلاسيكية.
الخلط بين الحل الخاص والحل العام.

توجه إلى دروس الثانية باكالوريا، فصل المعادلات التفاضلية. باكالوريا العلوم الرياضية ستختبر دائماً تقريباً النوع 1 أو النوع 2 في جزء الدالة الأسية.