Équations différentielles 2BAC : méthode + types

Type 1 — Linéaire homogène : $y^{\prime }=ay$

Solution générale : $y(x)=C{e}^{ax}$, avec $C$ constante réelle.

La constante $C$ se détermine si on impose une condition initiale $y(x_0)=y_0$.

Exemple. $y^{\prime }=3y$ avec $y(0)=2$. La solution générale est $y(x)=C{e}^{3x}$. Avec $y(0)=C=2$, donc $y(x)=2e^{3x}$.

Type 2 — Linéaire avec second membre : $y^{\prime }+ay=b$ (b constante)

Méthode en 2 temps :

1. Trouve une solution particulière évidente. Si $b$ est constante, $y_p=b/a$ marche (si $a\ne 0$).
2. Ajoute la solution générale de l'équation homogène $y^{\prime }+ay=0$, qui est $C{e}^{-ax}$.

Solution finale : $y(x)=\frac{b}{a}+C{e}^{-ax}$.

Type 3 — Second ordre : $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$

On forme l'équation caractéristique : $r^2+ar+b=0$, de discriminant $\Delta =a^2-4b$.

• Si $\Delta >0$, deux racines $r_1,r_2$ : $y(x)=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$.
• Si $\Delta =0$, racine double $r_0$ : $y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{r_{0}x}$.
• Si $\Delta <0$, racines complexes $\alpha \pm i\beta$ : $y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$.

Exemple résolu

Résoudre $y^{\prime \prime }-5y^{\prime }+6y=0$.

Équation caractéristique : $r^2-5r+6=0$, soit $(r-2)(r-3)=0$. Racines : $r=2,r=3$.

Solution générale : $y(x)=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{3x}$.

Erreurs classiques

• Oublier le $-$ dans l'exposant de $C{e}^{-ax}$ pour $y^{\prime }+ay=0$. Le signe vient du fait que la solution de $y^{\prime }=-ay$ est $C{e}^{-ax}$.
• Mal résoudre l'équation caractéristique. Refais la factorisation comme un trinôme classique.
• Confondre la solution particulière avec la solution générale.

Pour pratiquer

Va sur les cours 2BAC, chapitre équations différentielles. Le bac SM testera presque toujours un type 1 ou type 2 dans la partie exponentielle.