معادلات اللوغاريتم والدالة الأسية: الطريقة

الخطوة 0 — مجال الصلاحية

قبل المعالجة، حدد القيود:

• $\ln (x)$ يتطلب $x>0$.
• $e^x>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$ (بدون قيود).

إذا أهملت هذه النقطة، فإنك تخاطر باختراع حلول دخيلة.

الخصائص الأساسية

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (من أجل $a,b>0$).
• $\ln (a/b)=\ln a-\ln b$.
• $\ln (a^n)=n\ln a$.
• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$.
• $e^{na}=(e^a{)}^n$.
• $\ln (e^x)=x$ و $e^{\ln x}=x$ (من أجل $x>0$).

المعادلة من النوع 1: $\ln (f(x))=k$

الطريقة: طبق الدالة الأسية على الطرفين.

$\ln (f(x))=k$ ⇔ $f(x)=e^k$.

مثال: $\ln (x-1)=2$. إذن $x-1=e^2$، أي $x=1+e^2$.

المعادلة من النوع 2: $\ln (f(x))=\ln (g(x))$

الطريقة: بالتقابل الأحادي لـ $\ln$.

$\ln (f(x))=\ln (g(x))$ ⇔ $f(x)=g(x)$ و $f(x),g(x)>0$.

مثال: $\ln (x^2)=\ln (2x+3)$. إذن $x^2=2x+3$ مع $x^2>0$ و $2x+3>0$.

$x^2-2x-3=0$، $(x-3)(x+1)=0$. الحلول المحتملة: $x=3$ أو $x=-1$. التحقق: $x=3$ ✓ ($9>0$ و $9>0$). $x=-1$: $\ln (1)=\ln (1)=0$ ✓.

المعادلة من النوع 3: $e^{f(x)}=k$ مع $k>0$

$e^{f(x)}=k$ ⇔ $f(x)=\ln k$.

إذا كان $k\le 0$، فلا يوجد حل (الدالة الأسية موجبة دائما).

المعادلة من النوع 4: تغيير المتغير

من أجل $e^{2x}-3e^x+2=0$، نضع $u=e^x$ (مع $u>0$).

تصبح المعادلة $u^2-3u+2=0$، $(u-1)(u-2)=0$، $u=1$ أو $u=2$.

$u=1$: $e^x=1$، $x=0$. $u=2$: $e^x=2$، $x=\ln 2$.

المتراجحات

$\ln$ و $e^x$ متزايدتان تزايدا قطعيا. إذن:

• $\ln (f(x))>\ln (g(x))$ ⇔ $f(x)>g(x)>0$.
• $e^{f(x)}>e^{g(x)}$ ⇔ $f(x)>g(x)$.

الأخطاء الشائعة

• نسيان المجال. تحقق دائما من أن معاملات $\ln$ موجبة بعد الحل.
• الخلط بين $\ln (a+b)$ و $\ln a+\ln b$ (خطأ: $\ln (a+b)\ne \ln a+\ln b$).
• نسيان تغيير الإشارة في المتراجحات عند الضرب في عدد سالب.

انظر أيضا: درس اللوغاريتم النيبيري الثانية باكالوريا العلوم الرياضية.