Équations logarithme et exponentielle : méthode

Étape 0 — Domaine de validité

Avant de manipuler, identifie les contraintes :

• $\ln (x)$ nécessite $x>0$.
• $e^x>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ (pas de contrainte).

Si tu négliges ce point, tu risques d'inventer des solutions parasites.

Propriétés clés

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (pour $a,b>0$).
• $\ln (a/b)=\ln a-\ln b$.
• $\ln (a^n)=n\ln a$.
• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$.
• $e^{na}=(e^a{)}^n$.
• $\ln (e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ (pour $x>0$).

Équation type 1 : $\ln (f(x))=k$

Méthode : applique l'exponentielle aux deux côtés.

$\ln (f(x))=k$ ⇔ $f(x)=e^k$.

Exemple : $\ln (x-1)=2$. Donc $x-1=e^2$, soit $x=1+e^2$.

Équation type 2 : $\ln (f(x))=\ln (g(x))$

Méthode : par injectivité de $\ln$.

$\ln (f(x))=\ln (g(x))$ ⇔ $f(x)=g(x)$ et $f(x),g(x)>0$.

Exemple : $\ln (x^2)=\ln (2x+3)$. Donc $x^2=2x+3$ avec $x^2>0$ et $2x+3>0$.

$x^2-2x-3=0$, $(x-3)(x+1)=0$. Solutions candidates : $x=3$ ou $x=-1$. Vérifier : $x=3$ ✓ ($9>0$ et $9>0$). $x=-1$ : $\ln (1)=\ln (1)=0$ ✓.

Équation type 3 : $e^{f(x)}=k$ avec $k>0$

$e^{f(x)}=k$ ⇔ $f(x)=\ln k$.

Si $k\le 0$, pas de solution (exponentielle toujours positive).

Équation type 4 : changement de variable

Pour $e^{2x}-3e^x+2=0$, pose $u=e^x$ (avec $u>0$).

L'équation devient $u^2-3u+2=0$, $(u-1)(u-2)=0$, $u=1$ ou $u=2$.

$u=1$ : $e^x=1$, $x=0$. $u=2$ : $e^x=2$, $x=\ln 2$.

Inéquations

$\ln$ et $e^x$ sont strictement croissantes. Donc :

• $\ln (f(x))>\ln (g(x))$ ⇔ $f(x)>g(x)>0$.
• $e^{f(x)}>e^{g(x)}$ ⇔ $f(x)>g(x)$.

Pièges

• Oublier le domaine. Toujours vérifier que les arguments de $\ln$ sont positifs après résolution.
• Confondre $\ln (a+b)$ et $\ln a+\ln b$ (FAUX : $\ln (a+b)\ne \ln a+\ln b$).
• Oublier le changement de signe dans les inéquations si on multiplie par un négatif.

Voir aussi : chapitre logarithme népérien 2BAC SM.