حل معادلة مثلثية: الطريقة

المعادلات الثلاث الأساسية

• $\cos X=a$ مع $|a|\le 1$ : $X=\pm \alpha +2k\pi$ حيث $\alpha =\arccos (a)$، $k\in \mathbb{Z}$.
• $\sin X=a$ مع $|a|\le 1$ : $X=\alpha +2k\pi$ أو $X=\pi -\alpha +2k\pi$ حيث $\alpha =\arcsin (a)$.
• $\tan X=a$ : $X=\alpha +k\pi$ حيث $\alpha =\arctan (a)$.

مثال بسيط

حل المعادلة $\cos x=\frac{1}{2}$.

$\arccos (1/2)=\pi /3$. الحلول: $x=\pm \pi /3+2k\pi$، $k\in \mathbb{Z}$.

معادلات من نوع $\cos A=\cos B$

$\cos A=\cos B$ ⇔ $A=B+2k\pi$ أو $A=-B+2k\pi$.

$\sin A=\sin B$ ⇔ $A=B+2k\pi$ أو $A=\pi -B+2k\pi$.

$\tan A=\tan B$ ⇔ $A=B+k\pi$.

معادلات من نوع $a\cos x+b\sin x=c$

الطريقة: نُخرج العامل $R=\sqrt{a^2+b^2}$.

$a\cos x+b\sin x=R(\cos \phi \cos x+\sin \phi \sin x)=R\cos (x-\phi )$.

تصبح المعادلة $R\cos (x-\phi )=c$، أي $\cos (x-\phi )=c/R$، وتُحل كحالة أساسية.

مثال: $\cos x+\sqrt{3}\sin x=1$

$R=\sqrt{1+3}=2$. لدينا $\cos \phi =1/2$ و $\sin \phi =\sqrt{3}/2$، إذن $\phi =\pi /3$.

المعادلة: $2\cos (x-\pi /3)=1$، أي $\cos (x-\pi /3)=1/2$.

$x-\pi /3=\pm \pi /3+2k\pi$، إذن $x=2\pi /3+2k\pi$ أو $x=0+2k\pi$.

معادلات من الدرجة الثانية في $\sin$ أو $\cos$

نضع $t=\sin x$ (أو $\cos x$)، نحل المعادلة من الدرجة الثانية في $t$، نتحقق من $|t|\le 1$، ثم نعود إلى $x$.

مثال: $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$. نضع $t=\sin x$ : $2t^2-t-1=0$، $(2t+1)(t-1)=0$، $t=-1/2$ أو $t=1$.

$\sin x=1$ : $x=\pi /2+2k\pi$. $\sin x=-1/2$ : $x=-\pi /6+2k\pi$ أو $x=7\pi /6+2k\pi$.

التقييد على مجال

إذا طلب السؤال الحلول في $[0,2\pi ]$، نأخذ الحلول العامة ونُغيّر قيم $k$ للاحتفاظ فقط بالحلول الموجودة في المجال.

الأخطاء الشائعة

• نسيان "$\pm$" بالنسبة لـ $\cos$ أو "$\pi -$" بالنسبة لـ $\sin$.
• نسيان تحديد $k\in \mathbb{Z}$.
• خطأ في تحديد الزاوية $\phi$ في تحويل $a\cos +b\sin$.

انظر أيضا بطاقة المتطابقات المثلثية.