Résoudre une équation trigonométrique : méthode

Les 3 équations de base

• $\cos X=a$ avec $|a|\le 1$ : $X=\pm \alpha +2k\pi$ où $\alpha =\arccos (a)$, $k\in \mathbb{Z}$.
• $\sin X=a$ avec $|a|\le 1$ : $X=\alpha +2k\pi$ ou $X=\pi -\alpha +2k\pi$ où $\alpha =\arcsin (a)$.
• $\tan X=a$ : $X=\alpha +k\pi$ où $\alpha =\arctan (a)$.

Exemple simple

Résoudre $\cos x=\frac{1}{2}$.

$\arccos (1/2)=\pi /3$. Solutions : $x=\pm \pi /3+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Équations $\cos A=\cos B$

$\cos A=\cos B$ ⇔ $A=B+2k\pi$ ou $A=-B+2k\pi$.

$\sin A=\sin B$ ⇔ $A=B+2k\pi$ ou $A=\pi -B+2k\pi$.

$\tan A=\tan B$ ⇔ $A=B+k\pi$.

Équations du type $a\cos x+b\sin x=c$

Méthode : on facte par $R=\sqrt{a^2+b^2}$.

$a\cos x+b\sin x=R(\cos \phi \cos x+\sin \phi \sin x)=R\cos (x-\phi )$.

L'équation devient $R\cos (x-\phi )=c$, soit $\cos (x-\phi )=c/R$, qui se résout comme cas de base.

Exemple : $\cos x+\sqrt{3}\sin x=1$

$R=\sqrt{1+3}=2$. On a $\cos \phi =1/2$ et $\sin \phi =\sqrt{3}/2$, donc $\phi =\pi /3$.

Équation : $2\cos (x-\pi /3)=1$, soit $\cos (x-\pi /3)=1/2$.

$x-\pi /3=\pm \pi /3+2k\pi$, donc $x=2\pi /3+2k\pi$ ou $x=0+2k\pi$.

Équations du second degré en $\sin$ ou $\cos$

Pose $t=\sin x$ (ou $\cos x$), résous l'équation du 2nd degré en $t$, vérifie $|t|\le 1$, puis remonte à $x$.

Exemple : $2{\sin }^{2}x-\sin x-1=0$. Pose $t=\sin x$ : $2t^2-t-1=0$, $(2t+1)(t-1)=0$, $t=-1/2$ ou $t=1$.

$\sin x=1$ : $x=\pi /2+2k\pi$. $\sin x=-1/2$ : $x=-\pi /6+2k\pi$ ou $x=7\pi /6+2k\pi$.

Restriction à un intervalle

Si l'énoncé demande les solutions dans $[0,2\pi ]$, prends les solutions générales et fais varier $k$ pour ne garder que celles dans l'intervalle.

Pièges

• Oublier le "$\pm$" pour $\cos$ ou les "$\pi -$" pour $\sin$.
• Oublier de préciser $k\in \mathbb{Z}$.
• Mauvais argument $\phi$ dans la transformation $a\cos +b\sin$.

Voir aussi la fiche identités trigonométriques.