دراسة الدالة: المنهجية المنظمة في 9 خطوات

لماذا منهجية صارمة؟

دراسة الدالة هي التمرين الرئيسي في امتحان باكالوريا العلوم الرياضية (غالبًا 6-8 نقاط). يتوقع المصحح المراحل التسع بهذا الترتيب الدقيق. الخروج عن النموذج = ضياع نقاط حتى لو كان الاستدلال صحيحًا.

شجرة القرار قبل البدء

قبل المراحل التسع، حدد نوع الدالة:

• كثيرة الحدود: مجموعة التعريف = $\mathbb{R}$، المشتقة كثيرة حدود، لا مقارب عمودي.
• كسرية ($P(x)/Q(x)$): مجموعة التعريف = $\mathbb{R}\setminus \{\text{أصفار }Q\}$، مقاربات عمودية ومائلة محتملة.
• تحتوي على جذر ($\sqrt{f(x)}$): مجموعة التعريف = $\{x\mid f(x)\ge 0\}$.
• تحتوي على لوغاريتم ($\ln (f(x))$): مجموعة التعريف = $\{x\mid f(x)>0\}$.
• أسية ($e^{f(x)}$): مجموعة التعريف = مجموعة تعريف $f$، لا مقارب عمودي أبدًا، مقارنة النمو في $\pm \infty$.
• مثلثية: الدورية يمكن استغلالها لتقليص الدراسة.

المراحل التسع الإجبارية (بالترتيب)

المرحلة 1 — مجموعة التعريف $D_f$

اذكر القيود:

• المقامات $\ne 0$
• الجذور: ما تحت الجذر $\ge 0$
• $\ln$: ما داخله $>0$
• $\tan$: ما داخله $\ne \pi /2+k\pi$

المرحلة 2 — الزوجية، الدورية، التماثلات

• $f(-x)=f(x)$ و $D_f$ متماثلة → دالة زوجية (تماثل محوري حول $Oy$).
• $f(-x)=-f(x)$ و $D_f$ متماثلة → دالة فردية (تماثل مركزي حول $O$).
• $f(x+T)=f(x)$ → دورية بدورة $T$. ندرس حينها على دورة واحدة.

هذه الخصائص تقلص الدراسة (ندرس على $[0,+\infty [$ للدالة الزوجية أو الفردية).

المرحلة 3 — النهايات عند أطراف $D_f$

• النهايات في $\pm \infty$ إذا كانت $D_f$ تحتوي هذه الأطراف.
• النهايات عند كل نقطة مستثناة من $D_f$ (أصفار المقام، إلخ).
• للحالات غير المحددة: مقارنة النمو، التعميل، المرافق.

المرحلة 4 — المشتقة $f^{\prime }(x)$ وإشارتها

1. تبرير القابلية للاشتقاق على المجال.
2. حساب $f^{\prime }(x)$ بالقواعد (المجموع، الجداء، الحاصل، المركبة).
3. تعميل $f^{\prime }(x)$ لتسهيل دراسة الإشارة.
4. دراسة إشارة كل عامل، ثم الدمج.

المرحلة 5 — جدول التغيرات

هو الملخص البصري للدراسة. يتضمن:

• أطراف $D_f$ (مع خطوط مزدوجة إذا كانت مستثناة).
• أصفار $f^{\prime }$.
• إشارة $f^{\prime }$.
• أسهم تغير $f$ (تزايد/تناقص).
• القيم عند الأطراف والقيم الحدية.

المرحلة 6 — المقاربات

• مقارب أفقي $y=L$ إذا $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L$.
• مقارب عمودي $x=a$ إذا $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$.
• مقارب مائل $y=ax+b$: نحسب $a=\lim \frac{f(x)}{x}$ ثم $b=\lim (f(x)-ax)$.

المرحلة 7 — النقط الخاصة

• التقاطع مع المحاور: $f(0)$ و $f(x)=0$.
• القيم الحدية المحلية (من الجدول).
• نقط الانعطاف: $f^{\prime \prime }(x)=0$ مع تغيير التحدب.
• المماسات المميزة (مثلاً المماس عند الأصل أو المماس الأفقي).

المرحلة 8 — رسم المنحنى $(C_f)$

1. ضع المقاربات بخطوط متقطعة.
2. ضع النقط الخاصة المحددة في المرحلة 7.
3. ارسم المنحنى محترمًا التغيرات والمقاربات.
4. تحقق من الانسجام: يجب أن يقترب المنحنى من المقاربات في $\pm \infty$.

المرحلة 9 — الخلاصة / الأسئلة المفتوحة في الموضوع

غالبًا يطلب الموضوع في النهاية: عدد حلول $f(x)=m$ (مناقشة حسب قيم $m$)، مناقشة الوضع بالنسبة لمنحنى آخر، إلخ.

مثال مفصل محلول: $f(x)=x{e}^{-x}$

المرحلة 1 — مجموعة التعريف

$f$ معرفة على $\mathbb{R}$ كجداء دالتين معرفتين على $\mathbb{R}$.

المرحلة 2 — التماثلات

$f(-x)=-x{e}^x$. ليست $f(x)$ ولا $-f(x)$. إذن لا زوجية ولا فردية. لا دورية واضحة.

المرحلة 3 — النهايات

في $-\infty$: $x\to -\infty$ و $e^{-x}\to +\infty$. الجداء: $-\infty \cdot (+\infty )=-\infty$. إذن $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$.

في $+\infty$: حالة غير محددة $\infty \cdot 0$. نكتب $f(x)=\frac{x}{e^x}$. بمقارنة النمو، $\frac{x}{e^x}\to 0$. إذن $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.

المرحلة 4 — المشتقة

$f$ قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$ كجداء دالتين قابلتين للاشتقاق.

$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$.

الإشارة: $e^{-x}>0$ دائمًا. إذن $f^{\prime }(x)$ لها إشارة $(1-x)$: موجبة لـ $x<1$، سالبة لـ $x>1$.

المرحلة 5 — جدول التغيرات

$f$ متزايدة على $]-\infty ,1]$، متناقصة على $[1,+\infty [$. قيمة عظمى عند $x=1$: $f(1)=1\cdot e^{-1}=1/e\approx 0,37$.

المرحلة 6 — المقاربات

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$ إذن محور الفواصل $y=0$ هو مقارب أفقي في $+\infty$.

لا مقارب عمودي (مجموعة التعريف = $\mathbb{R}$).

في $-\infty$: نبحث عن مقارب مائل. $\lim \frac{f(x)}{x}=\lim e^{-x}=+\infty$. إذن لا مقارب مائل. فرع لانهائي باتجاه مقارب $Oy$.

المرحلة 7 — النقط الخاصة

$f(0)=0$ إذن $(C_f)$ يمر بالأصل.

$f(x)=0⟺x=0$ (لأن $e^{-x}\ne 0$).

قيمة عظمى $(1,1/e)$.

المماس عند 0: $f^{\prime }(0)=1$، إذن المماس $y=x$.

المرحلة 8 — الرسم

ينطلق المنحنى من $-\infty$، يتزايد بسرعة، يمر بـ $(0,0)$ بمماس $y=x$، يصعد حتى القيمة العظمى $(1,1/e)$، ينزل متناقصًا ببطء نحو المقارب $y=0$ في $+\infty$.

المرحلة 9 — المناقشة

لـ $m\in \mathbb{R}$، عدد حلول $f(x)=m$:

• $m>1/e$: 0 حل.
• $m=1/e$: حل واحد ($x=1$).
• $0<m<1/e$: حلان.
• $m=0$: حل واحد ($x=0$).
• $m<0$: حل واحد (على $]-\infty ,0[$).

أهم 5 أخطاء يجب تجنبها

1. تجاوز مرحلة "$f$ قابلة للاشتقاق على ..." قبل حساب $f^{\prime }$.
2. عدم تبرير إشارة $f^{\prime }$ خطوة بخطوة.
3. الخلط بين "المقارب المائل" و"الاتجاه المقارب".
4. نسيان النقط التي تنعدم فيها $f^{\prime }$ دون تغيير الإشارة (نقطة انعطاف بمماس أفقي).
5. عدم التحقق من انسجام الرسم مع جدول التغيرات.

انظر أيضًا: منهجية دراسة الدالة (مختصر).