دراسة متتالية: التزايد والتناقص، المحدودية، التقارب

الخطوة 1 — اتجاه التغير

ثلاث تقنيات لتحديد ما إذا كانت $(u_{n})$ متزايدة أو متناقصة:

إشارة $u_{n + 1} - u_{n}$ : إذا كانت $\geq 0$ ، فهي متزايدة؛ إذا كانت $\leq 0$ ، فهي متناقصة.
مقارنة النسبة $u_{n + 1} / u_{n}$ بـ 1 (إذا كانت $(u_{n})$ ذات حدود موجبة): $\geq 1$ ← متزايدة؛ $\leq 1$ ← متناقصة.
دراسة $f (x)$ إذا كان $u_{n} = f (n)$ ، حيث $f$ دالة متصلة (طريقة الأولى باك).

$(u_{n})$ محدودة من الأعلى إذا كان ∃ $M$ : $u_{n} \leq M$ لكل $n$ .

$(u_{n})$ محدودة من الأسفل إذا كان ∃ $m$ : $u_{n} \geq m$ لكل $n$ .

محدودة = محدودة من الأعلى ومن الأسفل معاً.

المبرهنة الأساسية: كل متتالية متزايدة ومحدودة من الأعلى تكون متقاربة. وكذلك المتتالية المتناقصة والمحدودة من الأسفل.

إذا كانت $(u_{n})$ متقاربة، فإن نهايتها $L$ وحيدة.

بالنسبة لمتتالية حسابية $u_{n} = u_{0} + n r$ : $lim = + \infty$ إذا كان $r > 0$ ، و $- \infty$ إذا كان $r < 0$ .

بالنسبة لمتتالية هندسية $u_{n} = u_{0} q^{n}$ :

الطريقة:

إيجاد مجال مستقر $I$ بحيث $f (I) \subset I$ .
إثبات بالترجع أن $u_{n} \in I$ لكل $n$ .
دراسة رتابة $(u_{n})$ (إشارة $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ ، دراسة $f (x) - x$ ).
الاستنتاج: المتتالية متقاربة نحو نهاية $L$ .
إذا كانت $f$ متصلة، فإن $L$ تحقق $L = f (L)$ .

$u_{0} = 0$ ، $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . لتكن $f (x) = x + 2$ .

الخطوة 1: $f ([0, 2]) \subset [0, 2]$ ✓ (لأن $f$ متزايدة، $f (0) = 2 \in [0, 2]$ ، $f (2) = 2$ ).

الخطوة 2: بالترجع، $u_{n} \in [0, 2]$ .

الخطوة 3: $u_{1} - u_{0} = 2 > 0$ . إذن $(u_{n})$ متزايدة.

الخطوة 4: متزايدة ومحدودة من الأعلى ← متقاربة نحو $L \in [0, 2]$ .

الخطوة 5: $L = L + 2$ ، أي $L^{2} = L + 2$ ، أي $L^{2} - L - 2 = 0$ ، أي $(L - 2) (L + 1) = 0$ . بما أن $L \geq 0$ ، فإن $L = 2$ .