Étudier une suite : monotonie, bornée, convergence

Étape 1 — Sens de variation

Trois techniques pour déterminer si $(u_{n})$ est croissante ou décroissante :

Signe de $u_{n + 1} - u_{n}$ : si $\geq 0$ , croissante ; si $\leq 0$ , décroissante.
Rapport $u_{n + 1} / u_{n}$ comparé à 1 (si $(u_{n})$ à termes positifs) : $\geq 1$ → croissante ; $\leq 1$ → décroissante.
Étudier $f (x)$ si $u_{n} = f (n)$ , où $f$ est une fonction continue (méthode 1BAC).

$(u_{n})$ est majorée si ∃ $M$ : $u_{n} \leq M$ pour tout $n$ .

$(u_{n})$ est minorée si ∃ $m$ : $u_{n} \geq m$ pour tout $n$ .

Bornée = à la fois majorée et minorée.

Théorème fondamental : toute suite croissante et majorée converge. Idem décroissante et minorée.

Si $(u_{n})$ converge, sa limite $L$ est unique.

Pour une suite arithmétique $u_{n} = u_{0} + n r$ : $lim = + \infty$ si $r > 0$ , $- \infty$ si $r < 0$ .

Pour une suite géométrique $u_{n} = u_{0} q^{n}$ :

Méthode :

Trouver un intervalle stable $I$ tel que $f (I) \subset I$ .
Montrer par récurrence que $u_{n} \in I$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de $(u_{n})$ (signe de $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ , étudier $f (x) - x$ ).
Conclure : la suite converge vers une limite $L$ .
Si $f$ est continue, $L$ vérifie $L = f (L)$ .

$u_{0} = 0$ , $u_{n + 1} = u_{n} + 2$ . Soit $f (x) = x + 2$ .

Étape 1 : $f ([0, 2]) \subset [0, 2]$ ✓ (car $f$ croissante, $f (0) = 2 \in [0, 2]$ , $f (2) = 2$ ).

Étape 2 : par récurrence, $u_{n} \in [0, 2]$ .

Étape 3 : $u_{1} - u_{0} = 2 > 0$ . Donc $(u_{n})$ croissante.

Étape 4 : croissante et majorée → convergente vers $L \in [0, 2]$ .

Étape 5 : $L = L + 2$ , soit $L^{2} = L + 2$ , soit $L^{2} - L - 2 = 0$ , soit $(L - 2) (L + 1) = 0$ . Avec $L \geq 0$ , $L = 2$ .

Plus d'exercices : chapitre suites du 2BAC SM.