دراسة الدالتين اللوغاريتمية والأسية

الدالة اللوغاريتم النيبيري : $\ln$

• مجموعة التعريف : $]0,+\infty [$.
• المشتقة : ${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ على $]0,+\infty [$.
• اتجاه التغير : تزايد قطعي (لأن ${\ln }^{\prime }>0$).
• النهايات : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$، $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$.
• قيم خاصة : $\ln 1=0$، $\ln e=1$.

الخاصيات الجبرية لـ $\ln$

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (مع $a,b>0$).
• $\ln (a/b)=\ln a-\ln b$.
• $\ln (a^n)=n\ln a$.
• $\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln a$.

الدالة الأسية : $\exp$ أو $e^x$

• مجموعة التعريف : $\mathbb{R}$.
• المشتقة : $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. إنها مشتقة نفسها.
• اتجاه التغير : تزايد قطعي.
• النهايات : $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$، $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$.
• قيم خاصة : $e^0=1$، $e^1=e\approx 2,718$.
• $e^x>0$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

الخاصيات الجبرية لـ $\exp$

• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$.
• $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.
• $(e^a{)}^n=e^{na}$.
• $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$.

العلاقة الأساسية

$\ln$ و $\exp$ دالتان عكسيتان :

• $\ln (e^x)=x$ لكل $x\in \mathbb{R}$.
• $e^{\ln x}=x$ لكل $x>0$.

منحنياهما متماثلان بالنسبة للمستقيم $y=x$.

المقارنات اللامنتهية (مهمة جدا في الباكالوريا)

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ (الأسية تتفوق على القوى).
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$ (القوة تتفوق على اللوغاريتم).
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln x=0$.
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$.

مثال — دراسة $f(x)=x{e}^{-x}$

مجموعة التعريف : $\mathbb{R}$.

المشتقة : $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$.

$e^{-x}>0$، إذن إشارة $f^{\prime }$ هي إشارة $(1-x)$ : موجبة إذا $x<1$، سالبة إذا $x>1$.

$f$ متزايدة على $]-\infty ,1]$ ومتناقصة على $[1,+\infty [$، مع قيمة قصوى عند $x=1$ : $f(1)=1/e$.

النهايات : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ (لأن $x{e}^{-x}$ مع $x\to -\infty$ و $e^{-x}\to +\infty$). $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$ (المقارنات اللامنتهية).

أخطاء شائعة

• الخلط بين $\ln (a)+\ln (b)$ و $\ln (a+b)$ : هما مختلفان تماما.
• نسيان القيمة المطلقة في $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$.
• القسمة على $e^x$ كما لو كان يمكن أن يساوي صفرا : هو لا يساوي صفرا أبدا.

للتمرن : درس اللوغاريتم والأسية باكالوريا العلوم الرياضية.