Étudier les fonctions logarithme et exponentielle

Fonction logarithme népérien : $\ln$

• Domaine : $]0,+\infty [$.
• Dérivée : ${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0,+\infty [$.
• Sens de variation : strictement croissante (car ${\ln }^{\prime }>0$).
• Limites : $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln x=-\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$.
• Valeurs remarquables : $\ln 1=0$, $\ln e=1$.

Propriétés algébriques de $\ln$

• $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (avec $a,b>0$).
• $\ln (a/b)=\ln a-\ln b$.
• $\ln (a^n)=n\ln a$.
• $\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln a$.

Fonction exponentielle : $\exp$ ou $e^x$

• Domaine : $\mathbb{R}$.
• Dérivée : $(e^x{)}^{\prime }=e^x$. C'est sa propre dérivée.
• Sens de variation : strictement croissante.
• Limites : $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$.
• Valeurs remarquables : $e^0=1$, $e^1=e\approx 2,718$.
• $e^x>0$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Propriétés algébriques de $\exp$

• $e^{a+b}=e^a\cdot e^b$.
• $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.
• $(e^a{)}^n=e^{na}$.
• $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$.

Relation fondamentale

$\ln$ et $\exp$ sont réciproques :

• $\ln (e^x)=x$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.
• $e^{\ln x}=x$ pour tout $x>0$.

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Croissances comparées (TRÈS importantes au bac)

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ (exp gagne sur les puissances).
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0$ (puissance gagne sur log).
• $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\ln x=0$.
• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^n{e}^x=0$.

Exemple — étude de $f(x)=x{e}^{-x}$

Domaine : $\mathbb{R}$.

Dérivée : $f^{\prime }(x)=e^{-x}-x{e}^{-x}=(1-x)e^{-x}$.

$e^{-x}>0$, donc le signe de $f^{\prime }$ est celui de $(1-x)$ : positif si $x<1$, négatif si $x>1$.

$f$ est croissante sur $]-\infty ,1]$ et décroissante sur $[1,+\infty [$, avec un maximum en $x=1$ : $f(1)=1/e$.

Limites : $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ (car $x{e}^{-x}$ avec $x\to -\infty$ et $e^{-x}\to +\infty$). $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$ (croissances comparées).

Pièges

• Confondre $\ln (a)+\ln (b)$ et $\ln (a+b)$ : ces deux sont DIFFÉRENTS.
• Oublier la valeur absolue dans $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$.
• Diviser par $e^x$ comme s'il pouvait être nul : il ne l'est jamais.

Pour pratiquer : chapitre logarithme et exponentielle 2BAC SM.