الهندسة المركبة: الدورانات والتشابهات

لاحق نقطة

لكل نقطة $M(a,b)$ في المستوى لاحق $z_M=a+ib$. وبالعكس، لكل $z\in \mathbb{C}$ تقابله نقطة وحيدة.

المسافات والزوايا

• $AB=|z_B-z_A|$ : المسافة بين نقطتين.
• $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\arg \left(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)[\text{mod }2\pi ]$ : الزاوية الموجهة.

الدوران

دوران مركزه $\Omega$ (لاحقه $\omega$) وزاويته $\theta$ : نقطة $M$ لاحقها $z$ صورتها $M^{\prime }$ لاحقها $z^{\prime }$ بحيث :

$z^{\prime }-\omega =e^{i\theta }(z-\omega )$

بشكل خاص، دوران مركزه $O$ : $z^{\prime }=e^{i\theta }z$.

مثال

دوران مركزه $O$ وزاويته $\pi /2$. صورة $M$ لاحقها $z=2+i$ :

$z^{\prime }=e^{i\pi /2}\cdot z=i\cdot (2+i)=2i+i^2=-1+2i$. إذن $M^{\prime }(-1,2)$.

التشابه المباشر

تشابه مباشر مركزه $\Omega$، نسبته $k>0$ وزاويته $\theta$ :

$z^{\prime }-\omega =k{e}^{i\theta }(z-\omega )$

كتابة مختصرة : $z^{\prime }=az+b$ حيث $a=k{e}^{i\theta }$ و $b$ يحدد بواسطة النقطة الثابتة.

الاستقامية والتعامد

• $A,B,C$ مستقيمية ⇔ $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\in \mathbb{R}$.
• $(AB)\perp (CD)$ ⇔ $\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in i\mathbb{R}$ (عدد تخيلي محض).

المواضع الهندسية الكلاسيكية

• $|z-z_A|=r$ : دائرة مركزها $A$، نصف قطرها $r$.
• $|z-z_A|=|z-z_B|$ : المحور المتوسط للقطعة $[AB]$.
• $\arg (z-z_A)=\theta$ : نصف مستقيم منطلقه $A$، اتجاهه $\theta$.

أخطاء شائعة

• نسيان الاتجاه : دوران بزاوية $+\pi /2$ ودوران بزاوية $-\pi /2$ يعطيان صورتين مختلفتين.
• الخلط بين التشابه المباشر وغير المباشر (المباشر يحافظ على الاتجاه، وغير المباشر يعكسه).
• كتابة سعة خارج القسمة بشكل خاطئ : $\arg (z_2/z_1)=\arg (z_2)-\arg (z_1)$، وليس العكس.

المزيد من التمارين : فصل الأعداد العقدية الثانية باكالوريا العلوم الرياضية.