الهندسة في الفضاء: معادلات المستقيمات والمستويات

المعادلة الديكارتية لمستوى

مستوى $P$ يمر من النقطة $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ وله متجهة ناظمية $n (a, b, c)$ معادلته:

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

أو بالشكل المفصل: $a x + b y + cz + d = 0$ .

مستقيم $D$ يمر من النقطة $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ وله متجهة موجهة $u (α, β, γ)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + t α y = y_{0} + tβ z = z_{0} + t γ$ , $t \in R$

عوض المعادلات الوسيطية للمستقيم $D$ في معادلة المستوى $P$ . تحصل على معادلة في $t$ :

$P : 2 x - y + 3 z = 5$ و $D : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t (1, 1, 1)$ .

نعوض: $2 (1 + t) - (0 + t) + 3 (0 + t) = 5$ ، أي $2 + 2 t - t + 3 t = 5$ ، أي $4 t = 3$ ، $t = 3/4$ .

نقطة التقاطع: $(1.75, 0.75, 0.75)$ .

بعد النقطة $M (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ عن المستوى $P : a x + b y + cz + d = 0$ :

$d (M, P) = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

ليكن $P_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ و $P_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ .

إذا كانت $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ و $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ مرتبطتين خطيا:
- و $(d_{1}, d_{2})$ متناسبان بنفس المعامل ← مستويان متطابقان.
- وإلا ← مستويان متوازيان.
وإلا ← المستويان متقاطعان في مستقيم.

$u (a, b, c) \cdot v (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}$ .

تطبيق: التعامد ⇔ الجداء السلمي منعدم. حساب الزاوية: $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$ .