Géométrie dans l'espace : équations de droites et plans

Équation cartésienne d'un plan

Un plan $P$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur normal $n (a, b, c)$ a pour équation :

$a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$

Soit, sous forme développée : $a x + b y + cz + d = 0$ .

Une droite $D$ passant par $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ et de vecteur directeur $u (α, β, γ)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + t α y = y_{0} + tβ z = z_{0} + t γ$ , $t \in R$

Substitue les paramétriques de $D$ dans l'équation de $P$ . Tu obtiens une équation en $t$ :

$P : 2 x - y + 3 z = 5$ et $D : (x, y, z) = (1, 0, 0) + t (1, 1, 1)$ .

Substitue : $2 (1 + t) - (0 + t) + 3 (0 + t) = 5$ , soit $2 + 2 t - t + 3 t = 5$ , soit $4 t = 3$ , $t = 3/4$ .

Point d'intersection : $(1.75, 0.75, 0.75)$ .

Distance du point $M (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ au plan $P : a x + b y + cz + d = 0$ :

$d (M, P) = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

Soient $P_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0$ et $P_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0$ .

Si $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ et $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ sont colinéaires :
- et $(d_{1}, d_{2})$ proportionnels au même coef → plans confondus.
- sinon → plans parallèles.
Sinon → plans sécants en une droite.

$u (a, b, c) \cdot v (a^{'}, b^{'}, c^{'}) = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}$ .

Application : orthogonalité ⇔ produit scalaire nul. Calcul d'angle : $cos θ = \frac{u \cdot v}{∥ u ∥ \cdot ∥ v ∥}$ .