المتراجحات ذات القيمة المطلقة: الطريقة

تذكير بالتعريف

$|x|=x$ إذا كان $x\ge 0$، و $|x|=-x$ إذا كان $x<0$. القيمة المطلقة دائماً موجبة أو منعدمة.

التكافؤان الأساسيان

• $|X|<a$ مع $a>0$ ⇔ $-a<X<a$.
• $|X|>a$ مع $a\ge 0$ ⇔ $X<-a$ أو $X>a$.

(بالنسبة لـ $\le$ و $\ge$، نستبدل المتراجحات الصارمة فقط.)

حالة خاصة: $a\le 0$

• $|X|<a$ مع $a\le 0$: لا يوجد حل (القيمة المطلقة لا تكون أبداً < 0).
• $|X|>a$ مع $a<0$: جميع قيم $X$ تحقق المتراجحة (صحيحة دائماً).
• $|X|>0$: جميع قيم $X\ne 0$.

مثال 1 — متراجحة بسيطة

حل المتراجحة $|2x-3|<5$.

تكافئ: $-5<2x-3<5$، أي $-2<2x<8$، أي $-1<x<4$.

الحل: $S=]-1,4[$.

مثال 2 — متراجحة "أكبر من"

حل المتراجحة $|x+1|\ge 3$.

تكافئ: $x+1\le -3$ أو $x+1\ge 3$، أي $x\le -4$ أو $x\ge 2$.

الحل: $S=]-\infty ,-4]\cup [2,+\infty [$.

طريقة "دراسة الحالات"

عندما لا ينطبق التكافؤ المباشر (مثلاً: $|x-1|+|x+2|<5$)، نزيل القيم المطلقة بدراسة الحالات.

1. حدد النقط التي تتغير عندها إشارة كل عبارة داخل $|\cdot |$: هنا $x=1$ و $x=-2$.
2. قسّم $\mathbb{R}$ إلى فترات: $]-\infty ,-2]$، $[-2,1]$، $[1,+\infty [$.
3. على كل فترة، اكتب العبارة بدون قيمة مطلقة، ثم حل المتراجحة.
4. اجمع الحلول.

تطبيق بياني

$|x-a|<r$ تعني "المسافة بين $x$ و $a$ أقل من $r$" على المستقيم العددي. بيانياً، هذا هو المجال $]a-r,a+r[$.

$|x-a|>r$ تعني "المسافة بين $x$ و $a$ أكبر من $r$": كل شيء ما عدا المجال $]a-r,a+r[$.

أخطاء شائعة

• الخلط بين $|x|=a$ و $x=\pm a$: كلاهما صحيح إذا كان $a\ge 0$، لكن $|x|=-3$ ليس لها حل.
• التربيع دون حذر: $|X|<a$ ⇔ $X^2<a^2$ فقط إذا كان $a>0$.
• نسيان عكس اتجاه المتراجحة عند الضرب في عدد سالب.

للتمرن أكثر: درس القيمة المطلقة السنة الأولى باكالوريا.