Inéquations avec valeur absolue : méthode

Définition rappel

$|x|=x$ si $x\ge 0$, $|x|=-x$ si $x<0$. C'est toujours positif ou nul.

Les 2 équivalences fondamentales

• $|X|<a$ avec $a>0$ ⇔ $-a<X<a$.
• $|X|>a$ avec $a\ge 0$ ⇔ $X<-a$ ou $X>a$.

(Pour $\le$ et $\ge$, on remplace simplement les inégalités strictes.)

Cas particulier : $a\le 0$

• $|X|<a$ avec $a\le 0$ : pas de solution (une valeur absolue n'est jamais < 0).
• $|X|>a$ avec $a<0$ : tous les $X$ conviennent (toujours vrai).
• $|X|>0$ : tous les $X\ne 0$.

Exemple 1 — Inéquation simple

Résoudre $|2x-3|<5$.

Équivaut à : $-5<2x-3<5$, soit $-2<2x<8$, soit $-1<x<4$.

Solution : $S=]-1,4[$.

Exemple 2 — Inéquation "supérieure"

Résoudre $|x+1|\ge 3$.

Équivaut à : $x+1\le -3$ ou $x+1\ge 3$, soit $x\le -4$ ou $x\ge 2$.

Solution : $S=]-\infty ,-4]\cup [2,+\infty [$.

Méthode "par disjonction de cas"

Quand l'équivalence directe ne s'applique pas (ex : $|x-1|+|x+2|<5$), on enlève les valeurs absolues par disjonction.

1. Trouve les points où chaque expression à l'intérieur des $|\cdot |$ change de signe : ici $x=1$ et $x=-2$.
2. Découpe $\mathbb{R}$ en intervalles : $]-\infty ,-2]$, $[-2,1]$, $[1,+\infty [$.
3. Sur chaque intervalle, exprime sans valeur absolue, et résous.
4. Réunit les solutions.

Application graphique

$|x-a|<r$ signifie "$x$ est à distance inférieure à $r$ de $a$" sur la droite numérique. Visuellement, c'est l'intervalle $]a-r,a+r[$.

$|x-a|>r$ signifie "$x$ est à distance supérieure à $r$ de $a$" : tout sauf l'intervalle $]a-r,a+r[$.

Pièges

• Confondre $|x|=a$ et $x=\pm a$ : les deux sont valides pour $a\ge 0$, mais $|x|=-3$ n'a pas de solution.
• Élever au carré sans précaution : $|X|<a$ ⇔ $X^2<a^2$ seulement si $a>0$.
• Oublier le sens de l'inéquation quand on multiplie par un négatif.

Pour pratiquer : chapitre valeur absolue 1BAC.