Étudier le signe d'une expression : guide pratique

Pourquoi étudier le signe ?

Pour résoudre $f(x)\ge 0$, étudier les variations de $f$ (via le signe de $f^{\prime }$), ou déterminer le domaine de $\sqrt{f}$ ou $\ln (f)$ : tu as besoin du signe.

Stratégie générale

1. Factorise l'expression au maximum.
2. Identifie les facteurs et leurs zéros.
3. Construis un tableau de signe facteur par facteur.
4. Multiplie les signes ligne par ligne pour obtenir le signe final.

Cas 1 — Expression affine $ax+b$

Zéro : $x=-b/a$.

• Si $a>0$ : négatif avant $-b/a$, positif après.
• Si $a<0$ : l'inverse.

Cas 2 — Polynôme du 2nd degré $a{x}^2+bx+c$

Calcule $\Delta =b^2-4ac$ :

• $\Delta >0$ : deux racines $x_1<x_2$. Signe = signe de $a$ à l'extérieur, signe opposé à l'intérieur.
• $\Delta =0$ : racine double. Signe de $a$ partout (sauf en $x_0$ où c'est nul).
• $\Delta <0$ : pas de racine. Signe de $a$ partout.

Cas 3 — Polynôme de degré 3 ou plus

1. Cherche une racine évidente (souvent $0,1,-1,2,-2$).
2. Factorise par $(x-\text{racine})$ via division ou Horner.
3. Continue jusqu'à atteindre du 2nd degré ou des facteurs linéaires.

Cas 4 — Quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}$

1. Étudie le signe du numérateur $P$ et du dénominateur $Q$ séparément.
2. Exclus les zéros de $Q$ du domaine (mets une double barre).
3. Multiplie ligne $P$ × ligne $Q$ pour obtenir le signe du quotient.

Cas 5 — Expression avec exp ou log

• $e^x>0$ pour tout $x$ : signe de $e^{x}f(x)$ = signe de $f(x)$.
• $\ln (x)$ a le signe : négatif sur $]0,1[$, nul en $1$, positif sur $]1,+\infty [$.

Exemple résolu

Étudie le signe de $f(x)=(x-2)e^x\ln (x)$ sur $]0,+\infty [$.

Signes des 3 facteurs :

• $x-2<0$ si $x<2$, $>0$ si $x>2$.
• $e^x>0$ partout.
• $\ln (x)<0$ si $0<x<1$, $>0$ si $x>1$.

Tableau :

$x$	$0$	$1$	$2$	$+\infty$
$x-2$	$-$	$-$	0	$+$
$e^x$	$+$	$+$	$+$	$+$
$\ln (x)$	$-$	0	$+$	$+$
$f(x)$	$+$	0	$-$	0 puis $+$

Donc $f(x)\ge 0$ sur $]0,1]\cup [2,+\infty [$.

Pièges

• Oublier qu'un quotient n'est pas défini quand le dénominateur s'annule.
• Multiplier des inégalités sans regarder les signes (interdit en général).
• Mauvaise factorisation : toujours vérifier en développant.

Voir aussi : tableau de signe complet.